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Ableitung

Ableitung

Das Wort Ableitung bezeichnet
- in der Dialektik im allgemeinen Sprachgebrauch eine logische Abfolge von Gedanken, die von einer Feststellung (oder speziellen Erkenntnis) zu einer Folgerung oder Begründung führen
- im mathematisch-technischen Sinn
  - in der Mathematik die Steigung der Tangenten einer Funktion und ist ein Synonym für den Differentialquotienten. Weiteres siehe unter Differentialrechnung
  - einen Begriff der Mathematik in Zusammenhang mit einer Gedankenkette innerhalb eines Beweises. Diese Idee ist formalisiert worden im Teilgebiet der Mathematischen Logik, siehe Ableitung (Logik)
  - einen Begriff der Theoretischen Informatik in Zusammenhang mit formalen Grammatiken, siehe Ableitung (Informatik)
  - einen Begriff der Objektorientierten Programmierung in Zusammenhang mit Unterklassen
- eine Übersetzung von Philipp von Zesen für das Wort Derivation

Dialektik

Dialektik (griechisch διαλεκτική (τέχνη), dialektiké (téchne), eigentlich: "Kunst der Unterredung"; gleichbedeutend zu lateinisch (ars) dialectica: "(Kunst der) Gesprächsführung") ist ein Begriff der Philosophie und der Rhetorik. Ursprünglich bezeichnete er in der griechischen Antike eine Methode oder Theorie der Diskussion. Bei späteren Philosophen hat der Begriff eine zum Teil deutlich abweichende Bedeutung.

Frühe, vorterminologische Entwicklungsformen der Dialektik

Eine spontane, naturwüchsig-naive Dialektik findet sich in unterschiedlicher Ausprägung in den Weltanschauungen fast aller Kulturvölker. Im frühen Buddhismus, der die Welt als ein ununterbrochenes Werden auffasst, tritt diese elementare dialektische Anschauungsweise ebenso auf wie in der alten chinesischen Philosophie, insbesondere im Taoismus. Ihren Höhepunkt und ihre entwickeltste Gestalt erhielt diese Form der Dialektik in der antiken griechischen Philosophie. Den ionischen Naturphilosophen (u.a. Thales, Anaximenes, Anaximander) galt die Welt als einheitliches Ganzes, in dem beständiges Werden herrscht. Am ausgeprägtesten bringt Heraklit diese Dialektik zum Ausdruck. Die Welt ist ihm ein ewiger gesetzmäßiger Prozess: "Diese Weltordnung, dieselbige für alle Wesen, schuf weder einer der Götter noch der Menschen, sondern sie war immerdar und ist und wird sein ein ewig lebendiges Feuer, erglimmend nach Maßen und verlöschend nach Maßen". (in: H. Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker, 1903) Als entschiedene Verfechter einer metaphysischen antidialektischen Anschauung traten die Eleaten, insbesondere Zenon von Elea, gegen Heraklit auf. Sie hielten die Welt für das eine, ewige, unbewegliche Sein, in dem es kein Werden und Vergehen, keine Vielfältigkeit gebe. Was die Sinne dem Menschen an Bewegung und Vielheit zeigen, sei trügerischer Schein. Zenon von Elea soll jedoch, so Aristoteles, den Begriff "Dialektik" als erster verwendet haben.

Dialektik als Methode der Gesprächsführung

Platon

Zum ersten Mal findet sich der Terminus "Dialektik" bei Platon. Die eindeutige Klärung des Begriffs stellt sich bis heute als schwierig dar, da bereits in Platons Dialogen mindestens drei verschiedene Dialektikbegriffe kursieren. In seiner frühen Philosophie bezeichnet er damit lediglich eine bestimmte Form der Gesprächsführung, bekannt als sokratischer Dialog. Später unterscheidet er drei Verfahren; im einzelnen sind das der Elenchos, das Hypothesis-Verfahren und das Dihairesis-Verfahren. Für alle Verfahren gilt, dass an einem dialektischen Gespräch zwei Gesprächspartner teilnehmen: Der Fragende (Opponent) stellt eine Frage, die der Antwortende (Proponent) nur mit Ja oder Nein beantworten soll bzw. darf (z.B.: ist die Seele unsterblich?). Die Zuteilung der Rollen ist dabei zwingend. Ausgangspunkt ist die Definition des Proponenten. Der Opponent stellt nun auf Grundlage dieser Definition solange Fragen, bis sich der Proponent in argumentationslogische Widersprüche verwickelt und seine These aufgeben muss, oder bis die These durch langes Prüfen so erhärtet und unerschüttert ist, dass sie als wahr angesehen werden kann. Klassisches Beispiel für diese Art von Gespräch sind alle platonischen Dialoge. Dort ist Sokrates immer der Opponent, der eine ungeprüfte Meinung seines Proponenten (dessen Namen meistens der Dialog als Titel trägt) auf den Kopf stellt bzw. widerlegt. Oft enden diese Gespräche in einer Aporie (griechisch aporia - Ausweglosigkeit), d.h. nach dem dialektischen Gespräch ist nur bewiesen, dass die alte These zu verwerfen ist, aber eine neue ist dadurch (noch) nicht gefunden. Später entwickelt Platon Dialektik zu einer Methode, mit der in der Philosophie Wissen über die Ideen zu erlangen sei.

Aristoteles

Aristoteles arbeitet in seiner Topik eine methodische Anleitung der Argumentation aus, die er "Dialektik" nennt. Zu Beginn der Topik schreibt er: :"Die Abhandlung beabsichtigt, ein Verfahren zu finden, aufgrund dessen wir in der Lage sein werden, über jedes vorgelegte Problem aus anerkannten Meinungen zu deduzieren, und, wenn wir selbst ein Argument vertreten, nicht Widersprüchliches zu sagen." (zitiert nach Rapp/Wagner 2004) Nach Aristoteles ist demnach Dialektik ein Instrument, jede mögliche These auf ihre Tragfähigkeit zu überprüfen. Wahrscheinlich bezieht sich Aristoteles auf den Dialektikbegriff Platons. Von den meisten Forschern wird er als Schüler Platons bezeichnet, den er wohl an der Akademie erlebt hatte. Wie bei Platon ist der Ausgangspunkt seines Denkens ein Gespräch zwischen einem Fragenden und einem Antwortenden, der die These verteidigt.

Konzept der Dialektik im deutschen Idealismus und später

Hier bezeichnet Dialektik eine Denkweise, die auf der Einsicht in die objektive Einheit von Gegensätzen und in qualitative Veränderungen des Geschehens beruht; in ihrer materialistischen Ausprägung eine Auffassung der Theorie von den allgemeinsten Bewegungs- und Entwicklungszusammenhängen in der Natur, der Gesellschaft und in den Formen des Denkens und Handelns. Diese Widersprüche sollen aufgelöst werden und dadurch eine Erkenntnis entstehen (Synthese), wobei Fichtes Terminologie - These, Antithese und Synthese - von Hegel nicht benutzt, sondern kritisiert wird (siehe Triade). Es besteht also eine enge Verwandtschaft mit der Logik. Dialektik wird oft als Teil der Logik oder informale Logik bezeichnet oder gar mit Logik gleichgesetzt. Kant definierte die Dialektik als höchsten, jedoch nur rein "geistig" sich abwickelnden Prozess auf dem Weg der Gewinnung einer jeglichen Erkenntnis. Hierbei werden erste "Thesen" in Bezug auf z.B. das WESEN eines Dinges aufgestellt. Diese konfrontieren sich im Denken bald mit einer tieferen Einsicht, die als "Antithese" bezeichnet wird, und aus der logischen Erwägung beider entsteht die "Synthese", welche hier also als eine "Theorie" zum WESEN eines Dinges (- z.B. der Wikipedia: Was ist das?) bezeichnet werden kann. Sofern dieser Prozess sich aber allein "geistig" vollzieht, sah Kant sich gezwungen, die Dialektik (ohne die es in Wirklichkeit kein "denken" gibt)als "Logik des Scheins" zu definieren. Solche 'dialektische Logik' ist nach Kant eine Beschäftigung mit den Dingen (Vorstellungen), die außerhalb des "möglichen Erfahrungsbereiches" liegen (eben allein im "Denken"). "Erfahrung" setzt nämlich den Kontakt des Denkens (bzw. seiner "Theorien") zur konkreten Praxis voraus; wird dieser Bereich der "möglichen" - d.h. nicht zwingend ("notwendig") zu gewinnenden Erfahrung gemieden - etwa wegen "traumatischer Erfahrungen", die gemacht wurden -, oder bleiben sonstwie "unmöglich", einfach weil es die erörterten Dinge gar nicht gibt -(wie Gott 'das GUTE' im Himmel mit Vollbart, und das 'BÖSE' des Teufels in der Hölle)-, so bleibt das Denken bei seinen Operationen mit den 'heraklitischen' Paaren von Gegensätzen, auf denen es beruht ('Ying&Yang; Hell-Dunkel usf.) und verwickelt sich in unauflösbare Widersprüche... Kant nannte die dualistischen Pole in den Grundlagen des Denkens Antinomien). Einsteins Begriff der RAUM-ZEIT stellt solch' ein Paar von 'Gegen-Namen', bzw. eine "Antinomie" dar. Mit ihnen befaßte er sich in seinen berühmten "Gedanken-Experimenten", die als Prozess zu verstehen sind, der sich "dialektisch" selbst regelt, und der in den synthetischen Entwurf der Theorie des "Kontinuum der Raum-Zeit" mündete. Das Verständnis der Dialektik, so wie es durch Kant gewonnen wurde, bezeichnen einige spätere Philosophen als abgeschlossen, z.B. Schopenhauer. (Dies hinderte ihn nicht, sich weiterhin mit Kants Erkenntnis, daß wir denkend aus unserer Vorstellungswelt nicht hinauskommen, zu befassen, versuchend, sie und ihr unvorstellbares "Ding an sich" als WILLE zu verdeutlichen [s. "Die Welt als Wille und Vorstellung"]). Andere hingegen gehen davon aus, daß Kants Auffassung der Dialektik noch fehlerhaft gewesen sei und weiterentwickelt wurde, so bei Karl Klemens Serol, Johann Gottlieb Fichte und Friedrich Wilhelm Joseph von Schelling, um schließlich seinen absoluten Höhepunkt in der Logik Hegels zu erreichen. Der Begriff "absoluter Höhepunkt" stellt hier übrigens die subjektive Wertung mancher Philosophen dar, darf also nicht als allgemeingültig mißverstanden werden. Hegels Ansatz wird von Kant aus als eine "Logik des Scheins" beurteilt (Grund: Fehlen eines Bezugs der Theorie zum praktischen Bereich der "möglichen Erfahrung").

Zum Ansatz der Dialektik bei Hegel

Die Dialektik ist nach Hegel nicht nur eine Methode, eine Theorie des Erkennens, sondern auch eine Ontologie, d.h. ein metaphysisches System. Die Dialektik wird deshalb als autonomer logischer Prozess charakterisiert, als Selbstentwicklung des Begriffs, deren Grundlage die logische Struktur der Wirklichkeit selbst bildet. Die nach Hegel benannte Methode stammt allerdings ursprünglich aus dem Hinduismus und zwar aus den Upanishaden. Ein spekulatives metaphysisches System ist auch ein System logischer Schlussfolgerungen, da sie unabhängig von der Erfahrung sind, über deren Grenzen hinausgehen und das Transzendente als dem Denken Immanentes erfassen, welches das Wesen von allem, darunter auch das menschliche Wesen, ist. Die Dialektik ist nach Hegel auch die echte metaphysische Methode, die es erlaubt, sich über die unausbleibliche Begrenztheit des empirischen Wissens auf jedes beliebige Entwicklungsniveau zu erheben.

Zum System der Hegelschen Dialektik

In Hegels Philosophie ist es der Geist, der sich in einem dialektischen Prozess von Stufe zu Stufe entwickelt, immer neue Gestaltungen hervorbringt und sich zugleich selbst erkennt. Dieser Geist, dessen Entwicklung in Form von Begriffen Hegel darstellt, ist nichts anderes als der vom Subjekt getrennte, verselbständigte und zum Weltprozess verabsolutierte Denkprozess. Aber in dieser objektiv-idealistischen Form hat Hegel mit enzyklopädischer Gelehrsamkeit das Wissen seiner Zeit verarbeitet, um überall in Natur, Geschichte und Denken die inneren Zusammenhänge, die Entwicklung, die Widersprüche nachzuweisen. So hat seine idealistische Dialektik einen sehr realen Inhalt, denn in der mystifizierten Entwicklung des Denkprozesses ist die wirkliche Entwicklung der materiellen Welt in ihrer dialektischen Gesetzmäßigkeit teils bewußt erfasst, teils genial erahnt. Hegel hat damit als erster in der Geschichte des philosophischen Denkens die allgemeinen Gesetze der Dialektik formuliert, indem er die Bewegung und Entwicklung als Übergang quantitativer Veränderungen in neue qualitative Zustände, als Entstehung und Überwindung von Widersprüchen und als Negation der Negation faßte. Im Widerspruch der Gegenstände zueinander und in ihrer Wechselwirkung erkannte er die Quelle und Triebkraft aller Entwicklung, denn der Widerspruch "ist die Wurzel aller Bewegung und Lebendigkeit; nur insofern etwas in sich selbst einen Widerspruch hat, bewegt es sich, hat Trieb und Tätigkeit"(in: Logik II 1,2).

Zur Denkmethode im System der Hegelschen Dialektik

Hegel arbeitete seine dialektische Denkmethode in einer ständigen, tiefgreifenden kritischen Auseinandersetzung mit der metaphysischen Denkweise aus, die mit isolierten, erstarrten Begriffen und einseitigen Bestimmungen operierte, ohne die Bewegung der Begriffe, ihre wechselseitigen Übergänge und die Relativität jeder Bestimmung zu sehen. Aber die Dialektik ist für Hegel keine "äußere Kunst" und kein "subjektives Schaukelspiel von hin- und herübergehendem Raisonnement[Urteil, Vernunftschluss]", sondern sie ist "vielmehr die eigene, wahrhafte Natur der Verstandesbestimmungen, der Dinge und des Endlichen überhaupt". "Das Dialektische macht daher die bewegende Seele des wissenschaftlichen Fortgehens aus und ist das Prinzip, wodurch allein immanenter Zusammenhang und Notwendigkeit in den Inhalt der Wissenschaft kommt, so wie in ihm überhaupt die wahrhafte, nichtäußerliche Erhebung über das Endliche liegt"(in: Enzyklopädie der philosophischen Wissenschaften im Grundriß, § 81). Die Dialektik ist bei Hegel objektiv bestimmt, "denn die Methode ist das Bewußtsein über die Form der inneren Selbstbewegung ihres Inhalts"(in: Logik, Einleitung). Die dialektische Methode ist "der sich selbst wissende, sich als das Absolute, sowohl Subjektive als auch Objektive, zum Gegenstand habende Begriff", sie ist "Bewegung des Begriffs selbst", und daher ist sie die allgemeine, schlechthin unendliche Kraft, welcher sich kein Objekt entziehen kann. "Sie ist darum die höchste Kraft oder vielmehr die einzige und absolute Kraft der Vernunft nicht nur, sondern auch ihr höchster und einziger Trieb, durch sich selbst in allem sich selbst zu finden und zu erkennen". (In: Logik II, 3,3). Hegel hat auch die wichtigsten Kategorien der Dialektik untersucht. Seine Bestimmungen über solche dialektische Kategorien wie Notwendigkeit und Zufall, Kausalität und Wechselwirkung, Möglichkeit und Wirklichkeit, Wesen und Erscheinung, Gesetz, Freiheit und Notwendigkeit, Kontinuität und Diskontinuität und andere.

Zum Paradigma im System der Hegelschen Dialektik

Hegel bevorzugte als Paradigma der Dialektik den Prozess der geistigen Selbstfindung beim Menschen. Das Bewusstsein eines Kindes ist noch unbestimmt und unerfüllt, offen für alles Einströmende. Insofern ist es - auf leere Weise - umfassend und allgemein als ein abstraktes Ich aufzufassen. Der Jugendliche wendet sich offen der Welt zu, lässt sie auf sich wirken, geht Beziehungen mit dem Anderen, dem Fremden ein. Und genau so findet er sich selber. Das Sich-Öffnen, das Aus-sich-Herausgehen ist tiefer gesehen ein In-sich-Einkehren lassen. Das Fremde wird angeeignet, im Anderen erkennt sich das Selbst: Sein "Abstoßen von sich" ist das "Ankommen bei sich selbst". Vielerlei Besonderes bestimmt und erfüllt nun die zuerst vage und leere Allgemeinheit des Ich. Der derart "gebildete" Mensch ist welthaltig: nicht mehr abstrakt, sondern kon-kret (d. h. ist zusammengewachsen mit der vielgestaltigen Wirklichkeit). Somit hat der Mensch sich durch 1001 Vermittlungen zu neuer, höherer Ganzheit entwickelt. In dieser mystifizierten Beschreibung sind die drei Stufen der Dialektik zu erkennen, die oft (aber nicht zutreffend: siehe Triade) als These, Antithese und Synthese kennzeichnet: # die unbestimmte Unmittelbarkeit oder das leere, abstrakte Allgemeine, das "Ansich", # das Herausgehen, die Entäußerung aus dem Anfangszustand, als Vermittlung ins Besondere, das "Fürsich", # durch die Negation dieser Negation die neue Position, die höhere, vermittelte Unmittelbarkeit oder das konkrete Allgemeine, das "An-und-für-sich". Anders als in der klassischen Terminologie der formalen Logik ist die Negation der Negation bei Hegel allerdings nicht gleichzusetzen mit der ursprünglichen Position. Sie ist vielmehr in dreifacher Hinsicht in dieser "aufgehoben": Im Sinne von "elevare", "conservare" und "negare".
Die Kraft, die den sich selbst bewegenden Werdeprozess der Dialektik in Gang setzt und hält, entsteht im Prozess des Widerspruchs als Negation, die das Verneinen seines Zustands an sich selbst vollstreckt: die jeweilige Entwicklungsstufe in ihrem Bestreben zur höherer Vollendung holt - in einer scheinbaren Spiralentwicklung - die verwandelte Ausgangsstufe in sich wieder ein. Darin vollzieht sich das Hegelsche " Aufheben" im dreifachen Wortsinn: Abschaffen (oder Auflösen), Aufbewahren und Emporheben.

Zum Moment des Übergangs von der Hegelschen zur materialistischen Dialektik

Die deutsche Philosophie setzte das Bedürfnis nach Philosophie mit dem Bedürfnis nach einem philosophischen System gleich. Dies ist aber im Idealismus begründet, denn für Hegel ist Philosophie nicht Widerspiegelung der unendlichen materiellen Totalität. Die Philosophie hat hier vielmehr den aktiven Anteil an der Selbstverwirklichung der Totalität. In der Philosophie gestaltet sich das Absolute zur Totalität und schaut in einem Ganzen der Wissenschaft, in einem System der Philosophie an. Die von Hegel entwickelte Vorstellung von der Welt als einem in sich selbst tragenen und vollendeten Ganzen, das keinen Grund außer sich selbst hat, war ein großer Fortschritt in der Geschichte des Denkens. Jedoch ihre Übertragung auf die Philosophie, im Sinne der Möglichkeit der vollendeten begrifflichen Widerspiegelung dieses Ganzen (d.h. in einem philosophischen System), erwies sich als unfruchtbar und in der Folgezeit als hemmend. Friedrich Engels kritisierte eine solche Systemvorstellung: "Ein allumfassendes, ein für allemal abschließendes System der Erkenntnis der Natur und Geschichte steht im Widerspruch mit den Grundgesetzen des dialektischen Denkens; was indes keineswegs ausschließt, sondern im Gegenteil einschließt, dass die systematische Erkenntnis der gesamten äußeren Welt von Geschlecht zu Geschlecht Riesenschritte machen kann" (in: Herr Eugen Dührings Umwälzung der Wissenschaft).

Kritik an der Dialektik Hegels

Feuerbach führte in seiner Kritik des Hegelschen Idealismus aus, dass das systematische Darstellen im wesentlichen nur das sich darstellende Denken, das seine Ergebnisse reproduzierende Denken ist. Er meinte, das darstellende Denken und das systematische Denken seien nicht das eigentliche, das "wesentliche" Denken. Ähnlich kritisiert auch Kierkegaard die Dialektik Hegels, indem er deren Ergebnisse als für den einzelnen Menschen unerheblich darstellt, da dem Allgemeinen kein Sein zukommen kann. Hegel abstrahiert nach Kierkegaard in die Idealität und verliert dabei denkend den Boden unter den Füßen, während für Kierkegaard das Denken der Wirklichkeit darin bestehen muss, diese auch existenziell in der eigenen Existenz zu verwirklichen. Eine gewichtige Kritik an der Dialektik Hegels bringt u.a. auch Otto Willmann in seiner sehr umfang- und kenntnisreichen Geschichte des Idealismus vor.

Zum Ziel und Wesen der dialektischen Erkenntnis

Das Ziel und das Wesen der dialektischen Erkenntnis der materiellen Welt ist die geistige Entfaltung, besser: die Entwicklung der Totalität der Momente der Wirklichkeit. Das aber schließt ein, dass nicht nur das Resultat das wirkliche Ganze ist, sondern vielmehr das Resultat zusammen mit seinem Werden; der Weg des forschenden Denkens gehört dazu. Mit Recht bezeichnet Hegel das bloße Resultat als den Leichnam, der die Tendenz hinter sich gelassen hat. Ziel und Wesen der dialektischen Erkenntnis ist der Weg oder der Prozess der Entfaltung der Momente der Wirklichkeit. In einer Kurzformel zusammengefasst: die Momente der Kategorien des Logischen und Historischen. Jede einzelne Kategorie offenbart deshalb allein das Moment des Ganzen und seiner Entwicklung, ihren vollständigen Inhalt und ihre Bedeutung. Die Totalität der Kategorien birgt einen Reichtum von Stufen und Momenten in sich, deren relative Einseitigkeit und Beschränkheit in der lebendigen Totalität des Ganzen überwunden wird. Denn erst in ihr kritisieren, ergänzen und berichtigen die einzelnen Kategorien einander und überwinden die Einseitigkeit des Beschränkten.

Zur Überwindung der Hegelschen Illusion

Das systematisch darstellende Denken legt die Resultate seiner Widerspiegelungstätigkeit, der begrifflichen Widerspiegelung, vor. Es kann im Verlauf der Darstellung des Erkenntnisinhalts darauf verfallen, diese Darstellung mit der objektiven Bewegung des Widergespiegelten zu verwechseln, d.h. die materielle Wirklichkeit mit dem Bewußtsein zu identifizieren. Der Prozess der Darstellung wird mit der materiellen Bewegung verwechselt, weil der Anfang der Erkenntnis in der objektiven Realität vergessen worden ist. In der Einleitung zur Kritik der politischen Ökonomie zeigte Karl Marx den inneren Mechanismus, der zur Entstehung der Hegelschen Illusion führte, das Materielle, das Konkrete, die Totalität sei das Resultat des in sich zusammenfassenden Denkens. Dabei kann dem Bewußtsein die Bewegung der Kategorien als die wirkliche Produktionsart der materiellen Totalität erscheinen, weil "die konkrete Totalität als Gedankentotalität ... in fact als ein Produkt des Denkens, des Begreifens ist". Auf diese Weise erscheint die Totalität der Welt dem System des Philosophendenkens zu entsprechen, das sie mit Hilfe der dialektischen Vernunft spekulativ konstruiert.

Zur Aufgabenstellung der Bestimmungen zur Dialektik

An die Stelle der Systemkonstruktion muss die viel inhaltvollere Untersuchung des Verwandlungsprozesses selbst, des großen Grundprozesses, in dessen Erkenntnis die ganze Erkenntnis der Natur sich zusammenfaßt, treten. Engels wies wiederholt darauf hin, dass man zwar richtig den allgemeinen Charakter des Gesamtbildes der Erscheinungen erfassen kann, wie es sich in der griechischen materialistischen Philosophie zeigte, dass man aber auch die Einzelheiten erklären muss, aus denen sich das Gesamtbild zusammensetzt, "und solange wir dies nicht können, sind wir auch über das Gesamtbild nicht klar"(in: Herrn Eugen Dührings Umwälzung der Wissenschaft). Je tiefer die Wissenschaft in das Wesen der Bewegung der materiellen Wirklichkeit eindringt, desto mehr drängt sich ihr vom Einzelnen, vom Konkreten herauf, dass die Gesamtheit der Naturvorgänge in einem systematischen Zusammenhang steht, und sie wird dahin getrieben, diesen systematischen Zusammenhang überall im einzelnen wie im ganzen nachzuweisen(ebenda).

Zur Vermeidung der Einseitigkeit im Verharren einer Kategorie

Damit zeigte sich die Aufgabe der Anwendung der Dialektik darin, den gesamten Reichtum der Bestimmungen der Dialektik bei der Analyse konkreter Prozesse zu entfalten. Somit ist die Notwendigkeit gefordert, die Gleichzeitigkeit nahezu aller Bestimmungen der Dialektik bei der Analyse der Bewegung der materiellen Verhältnisse zu untersuchen. Ein Fehler ist, in der Einseitigkeit einer Kategorie zu verharren, weil die objektive Dialektik sich allseitig und in der Bewegung der Totalität durchsetzt und nicht nur in einer Form des Zusammenhangs, wie etwa der Kategorie des Gesetzes oder der Kausalität. Es gilt, die Totalität des Wissens und das Instrumentarium der dialektischen Methoden gleichzeitig anzuwenden. Das Verharren in der Einseitigkeit kann sich leicht einstellen, wenn allein im Seriellen, d.h. in der Folge des Nacheinaderausführens, der einzelnen Kategorien das Wesen einer gegebenen Erscheinung analysiert wird. Es kann jedoch keine schematische Anleitung im Vorgehen bei der Analyse geben, denn im Prozess der Anwendung der Abstraktionen höchster, also der philosophischen Stufe auf die Analyse des Konkreten, Mannigfaltigen zeigen diese selbst niemals eine im einzelnen vorhersehbare Wandlung, weil sie nunmehr explizite den Reichtum des Besonderen und damit die innere Dialektik selbst zur Darstellung bringen. Das Einzelne kann mit dem Allgemeinen partiell nicht übereinstimmen, denn auf der Ebene des Besonderen verwirklichen sich die Zusammenhänge konkreter und widersprüchlicher, als dies die höchste Abstraktion einzubinden vermag. Darin ist die Begründung zu suchen, dass es nicht möglich ist, philosophische Kategorien unvermittelt und vereinzelt auf konkrete Prozesse anzuwenden.

Dialektik im Marxismus

Karl Marx und Friedrich Engels hatten den Anspruch, auf der hegelschen Dialektik aufzubauen. Sie wollten Hegel dabei 'vom Kopf auf die Füße stellen' und die hegelsche idealistische Dialektik in eine materialistische Dialektik wandeln, bei der sie sich auch auf den (undialektischen) Materialismus Ludwig Feuerbachs bezogen. Dabei gingen sie von einem dialektischen Verhältnis von einerseits Natur und andererseits dem Menschen als Teil der Natur als eines praktisch wirkenden Verhältnisses aus. Natur wird von Marx als real anerkannt, sie sei aber für den Menschen nichts, solange er sie nicht bearbeiten könne. Die dialektisch zu interpretierende menschliche Geschichte beginnt entsprechend erst mit der Evolution des Menschen aus dem Tier (toolmaking animal). Indem der - von der Umwelt/ Natur geprägte - Mensch seine Umwelt durch Produktion seiner Lebensmittel verändert, sie sich langsam immer stärker aneignet, verändert er dabei sich selbst und emanzipiert sich von der Natur und selbst gesetzten Zwängen politischer Herrschaft (siehe Historischer Materialismus). Marx spricht in seiner Arbeit von Dialektik nur solange es Menschen gibt. Engels versucht in seinen Spätschriften, sie auch auf die Natur anzuwenden, um den sich damals stark differenzierenden Naturwissenschaften "theoretisch über den Berg" zu helfen. Diese Ansätze waren Marx bekannt, der im "Kapital" an einer Stelle bestätigt, Dialektik ließe sich auch auf die Naturwissenschaft anwenden. Natur ist laut Marx und Engels nicht teleologisch und nicht von Gott geschaffen, weshalb sie in Darwins Evolutionstheorie (1859) für die Natur eine faktische Bestätigung ihrer Anschauung über gesellschaftliche Entwicklung sahen, die aber nicht - wie im Sozialdarwinismus versucht - auf die Gesellschaft übertragbar sei. Von Gesetzmäßigkeiten ökonomischer Entwicklung sprachen sie als "Tendenzen". Wenn es auch eine Tendenz vom Einfachen zum Komplexeren gäbe, sei immer auch der Mißerfolg möglich: Sozialismus oder Barbarei, formulierte Marx dazu. (siehe auch: Dialektik bei Marx - Engels) Besonders Josef Stalins Verbindung von Historischem und Dialektischem Materialismus (siehe Über Dialektischen und Historischen Materialismus (Stalin)), die die hegelsche Logik auf die Form der berühmten drei marxistischen dialektischen Grundgesetze erweitert:
- Gesetz von der Durchdringung der Gegensätze
- Gesetz von der Negation der Negation
- Gesetz des Umschlagens von Quantität in Qualität und umgekehrt. Neben diesen drei aufgeführten Grundgesetzen werden in der marxistischen Dialektik noch die Gesetzmäßigkeiten des dialektischen Zusammenhangs betrachtet. Das sind z.B. die Kategorien bzw. Kategorienpaare. Dialektik kann mit Bertolt Brecht auch als Kunst verstanden werden, mit Antinomien (=Widersprüchen) umzugehen, und zwar besser als der politische Gegner, der, wie man selber, sich in ihnen bewegen muss.

Kategorien und Kategorienpaare


- Wesen und Erscheinung
- Ursache und Wirkung
- Inhalt und Form
- Inneres und Äußeres
- Wirklichkeit und Möglichkeit
- Zufall und Notwendigkeit
- Allgemeines und Einzelnes
- Einzelnes und Besonderes
- Kontinuität und Diskontinuität
- Grund und Folge
- Abstraktes und Konkretes
- Qualität und Quantität
- Identität und Unterschied
- Teil und Ganzes
- Endlichkeit und Unendlichkeit
- Absolutes und Relatives
- Einheit und Vielheit
- Freiheit und Determinismus Manchmal werden diese Gesetzmäßigkeiten auch als dialektische Wechselwirkungen bezeichnet. Eine besondere Entwicklung hat die marxistische Dialektik in der Volksrepublik China (siehe Mao Zedongs Widerspruchstheorie) genommen. Die drei Grundgesetze sind die Zusammenfassung der hegelschen Dialektik oder das, was an ihr "rational" ist. Wer etwas zu Hegels Dialektik wissen will, möge Hegels Logik lesen, in der kleinen Logik (1. Band der Enzyklopädie, erhältlich z.B. als stw 608 bei Suhrkamp) oder in der großen Logik (Wissenschaft der Logik, 2 Bände, stw 605-606). Einen ersten Einstieg bieten in der kleinen Logik die Paragraphen 79-82.

Literatur


- Christof Rapp, Tim Wagner: Aristoteles, Topik. Übersetzung, Einleitung und Kommentar. Reclam, Stuttgart 2004
- Rupert Lay: Dialektik für Manager. Econ
- Calixt Hötschl: Das Absolute in Hegels Dialektik: sein Wesen und seine Aufgabe. Schönigh, Paderborn 1941

Weblinks

Zur hegelschen Dialektik:
- http://hegel-system.de/quer.htm
- http://www.thur.de/philo/hegel/hegel.htm
- http://gutenberg.spiegel.de/autoren/hegel.htm ! ja:弁証法

Gedanke

Ein Gedanke ist ein unmittelbares Sinngebilde des Denkens. Die sprachliche Form des Gedankens ist der Aussagesatz. Insofern sich Gedanken aus Denkoperationen, also aus psychischen Akten ergeben, finden sie die Aufmerksamkeit der kognitiven Psychologie; insofern sie sich auf Sachverhalte richten, befasst sich die Logik mit ihnen. In dieser Hinsicht bezeichnet der Gedanke ein Ergebnis, Produkt des Denkprozesses in Form eines Urteils oder eines Begriffs, der im idealen Fall das Allgemeine in der Masse der Einzeldinge widerspiegelt, das Wesentliche, Gesetzmäßige in der Vielfalt der Erscheinungen der den Menschen umgebenden Welt fixiert. „Gedanke“ und „Tat“ werden einander gelegentlich gegenüber gestellt. Viele Philosophen betonen aber, dass Gedanken in Wechselwirkung mit den gesammelten Kenntnissen im Laufe der praktischen und wissenschaftlichen Tätigkeit zur Umgestaltung der Wirklichkeit führen können.

Ein Beispiel

Der Gedanke bzw. die Aussage "Morgen wird es regnen" kann auf verschiedene Weise zustande gekommen sein:
- Jemand hat eine meteorologische Prognose erstellt.
- Jemand ist wetterfühlig.
- Jemand hat ein Orakel befragt.
- Jemand tippt einfach mal ins Blaue hinein. Für einen Ratsuchenden ist es gewiss von einigem Wert, zu erfahren, wie sein Auskunftgeber auf den Gedanken gekommen ist, den er ihm mitgeteilt hat. Davon wird er nämlich dessen Glaubwürdigkeit abhängig machen. Ob allerdings die Aussage nicht nur glaubwürdig, sondern auch gültig, sprich: wahr ist, erfährt er nicht auf diesem Weg, sondern nur dadurch, dass er sie am morgigen Geschehen überprüft, also daran, ob es dann tatsächlich regnet. Unter Umständen muss sich dann sogar der Meteorologe dem Kaffeesatzleser geschlagen geben. Bei einem Gedanken ist also zwischen seiner Genesis und seiner Geltung zu unterscheiden. Beides kann interessant sein, beides sind annehmbare Perspektiven - aber es ist eben zweierlei. Missachtet man diese Differenz, dann setzt man die eine oder andere Hinsicht absolut. Derart einseitige Positionen sind:
- der Rationalismus (Ausschluss der Genesis),
- der Psychologismus (Ausschluss der Geltung).

Philosophiegeschichtliches

In der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts hat Immanuel Kant sich durch David Hume aus dem "dogmatischen Schlummer" wecken lassen und den Rationalismus "kritisch" gewendet. Dies führte zum transzendentalen Idealismus. Um 1900 hat Edmund Husserl sich durch Franz Brentano und Gottlob Frege von seiner psychologistischen "Reduktion" abbringen lassen und den intentionalen Sinn des Gedankens deutlicher hervorgehoben. Dies führte zur transzendentalen Phänomenologie. Siehe auch Idee, Reflexion (Philosophie)

Zitate


- Die Seele hat die Farbe deiner Gedanken. - Marc Aurel
- Gedanken sind die Schatten unserer Empfindungen - immer dunkler, leerer, einfacher als diese. - Friedrich Nietzsche
- Kein Gedanke ist immun gegen seine Kommunikation, und es genügt bereits, ihn an falscher Stelle und in falschem Einverständnis zu sagen, um seine Wahrheit zu unterhöhlen. - Theodor W. Adorno (Minima Moralia)

Literatur


- Franz Brentano († 1917): Psychologie vom empirischen Standpunkt
- Gottlob Frege (1918): Der Gedanke, in: Ders., Logische Untersuchungen (Hrsg. Günther Patzig), ISBN 3-525-33518-0 (Kleine Vandenhoeck-Reihe)
- David Hume (1748): Eine Untersuchung über den menschlichen Verstand
- Edmund Husserl (1901): Logische Untersuchungen
- Immanuel Kant (1781): Kritik der reinen Vernunft Kategorie:Erkenntnisprozess Kategorie:Philosophie des Geistes

Folgerung

Als Schlussfolgerung, Konklusion oder Schlusssatz bezeichnet man in der Logik die im Rahmen eines Beweises hergeleitete oder sich ergebende Aussage (siehe Schlussregel und Deduktion). Im allgemeinen Sprachgebrauch versteht man unter schlussfolgern auch das Erkennen von Folgerungen durch (meist schrittweises) Nachdenken, bzw. das Durchführen eines Beweises (auch Schluss, Umkehrschluss). Jede Schlussfolgerung basiert auf der richtigen Beurteilung von Fakten und Zusammenhängen (siehe auch Hypothese); die Art des Schlussfolgerns hängt auch von persönlichen Eigenschaften und allfälligen Erwartungen ab, sollte jedoch möglichst von Vorurteilen frei sein.
Die Richtigkeit einer Schlussfolgerung ist oft erst im Nachhinein an festzustellen - siehe Wahrheit und Lernen. Für die automatisierte, computergestützte Schlussfolgerung wird häufig der Begriff Inferenz (engl. inference oder reasoning) verwendet.

Siehe auch


- Analogieschluss, Schlussregel, Sukzedens, Verifikation
- Induktion, Deduktion, Abduktion, Inferenzrelation, Intuition
- forward chaining, backward chaining, Case-Based Reasoning Kategorie:Logik Kategorie:Wissenschaft

Begründung

Begründung (Logik)

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt). Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet. In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie: :y = 2x + 3 oder y = x2. Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite Eigenschaft: Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet. Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung. Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt: :Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat: :
- f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt. :
- zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist. Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und definiert: :Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt. Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen


- f\colon A \to B
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f \subseteq A \times B,
- : "Funktion f von A nach B"
- f\colon x \mapsto f(x)
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) \in f.
- : "x wird abgebildet auf f von x"
- : "x wird f von x zugeordnet"
- : "y ist f von x"
- : "y ist das Bild von x unter der Abbildung f". Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich genannt, die Wertemenge B auch Wertebereich. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch "x-Werte", die Elemente von B, heißen salopp auch "y-Werte". Funktionswerte heißen dagegen nur die Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f:R->R kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y=f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionenplotter gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: f: \mathbb \to \mathbb,\;\; x \mapsto f(x)=x^2 Die Nachfolger-Funktion: s:\mathbb \to \mathbb ,\;\; x \mapsto s(x)=x+1

Wichtige Begriffe


- Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
- Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) =
- Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f -1(y) = . Man sagt auch Faser von y.
- Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f -1(M) = .
- Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
- Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
- Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften


- Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
- Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
- Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat.
- Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind


- Beschränktheit
- Differenzierbarkeit
- Glattheit
- Integrierbarkeit
- Konvergenz
- Monotonie
- Stetigkeit
- Konvexität
- Holomorphie
- Homogenität

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

analytische Funktion
- Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.
  - homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  - allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
  - Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x2 + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
  - Potenzfunktion
  - Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = an·xn + an-1·xn-1 + ... + a1·x + a0 oder
f(x) = \sum_^n a_i\cdot x^i
  - Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
  - Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
- Transzendente Funktionen Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und der Wurzelfunktion besteht. Hierzu zählen:
  - Exponentialfunktion
  - Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
  - Logarithmus
  - Kreis- und Hyperbelfunktionen
    - Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
    - Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
    - Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccosec
    - Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
- Spezielle Funktionen
  - Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
  - Elliptische Funktion
  - Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
  - Bessel-Funktion
  - Legendre-Polynome
  - Kugelflächenfunktionen
  - Harmonische Funktion
  - Hurwitzpolynom
- sonstige Funktionen
  - Logistische Funktion
  - Gaußsche Glockenkurve
  - Lorentzkurve
  - Voigt-Profil

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind


- Betragsfunktion
- Maximumfunktion und Minimumfunktion
- Gaußsche Ganzzahlfunktion
- Heaviside-Funktion

Weitere Funktionen


- Charakteristische Funktion
- Vorzeichenfunktion
- Primitiv-rekursive Funktion
- Ackermannfunktion
- Phifunktion
- Zahlentheoretische Funktion
- Deltafunktion
- Fehlerfunktion
- Lokal konstante Funktion

Siehe auch


- Funktionsschar
- Funktion höherer Ordnung
- Mathematik für die Schule
- Satz von der impliziten Funktion
- Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes Kategorie:Analysis Kategorie:Mengenlehre ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Differentialrechnung

Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differenzialrechnung ist die Berechnung von lokalen Veränderungen von Funktionen. Hierzu dient die Ableitung, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt. Die Differentialrechnung ist zur Bildung von mathematischen Modellen, die versuchen die Wirklichkeit abzubilden, sowie deren nachfolgender Analyse in vielen Fällen ein unverzichtbares Hilfsmittel. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate, in den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten (z.B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.). Dieser Artikel erklärt außerdem die Begriffe Differenzenquotient, Differenzialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung und totale Ableitung.

Einleitung

Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt – wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat. In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion f für jedes x an, wie sich f(x) verändert, wenn sich x um einen infinitesimal kleinen Betrag \mathrmx ändert. In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens.

Geschichte

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung war als Tangentenproblem seit der Antike bekannt. Der nahe liegende Lösungsansatz war die Approximation der Tangente als Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als Null), aber beliebig kleinen Intervall. Die technische Schwierigkeit bestand darin, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite zu rechnen. So löste Fermat um 1640 das Tangentenproblem für Polynome. Hierbei schrieb er bereits eine Ableitung hin, jedoch ohne Betrachtung von Grenzwerten und ohne niederzuschreiben, was die mathematischen Rechtfertigungen für sein Vorgehen waren. Zur selben Zeit wählte Descartes einen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei Punkten, es sei denn der Kreis berührt die Kurve. Dann war es ihm für spezielle Kurven möglich, die Steigung der Tangente zu bestimmen. Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonard Euler, der den Funktionsbegriff prägte. Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen Zahlen, die aber größer als Null sind. Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von Bischof Berkley in der polemischen Schrift The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. Anfang des 19. Jahrhunderts ging Augustin Louis Cauchy davon ab und definierte die Ableitung in der heute üblichen, logisch strengen Weise als Grenzwert von Sekantensteigungen ("Differenzenquotienten"). Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts gegeben.

Definition

Hinführung

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion x \to f(x) in einem Punkt x_0. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an f über einem endlichen Intervall [x_0, x_0 + \Delta x]: :Sekantensteigung = \frac. Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation y für f(x) kann man die Sekantensteigung abgekürzt als \frac schreiben. : Ableitung einer Funktion Differenzenquotienten sind aus dem täglichen Leben wohlbekannt, zum Beispiel als Durchschnittsgeschwindigkeit: :"Auf der Fahrt von Augsburg nach Flensburg war ich um 9:43 Uhr (x_0) am Kreuz Biebelried (Tageskilometerstand f(x_0) = 198 km). Um 11:04 Uhr ( x_0 +\Delta x) war ich am Dreieck Hattenbach (Tageskilometerstand f(x_0+\Delta x) =341 km). In einer Stunde und 21 Minuten ( \Delta x) habe ich somit 143 km ( \Delta y) zurückgelegt. Meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Teilstrecke betrug somit 143 km/1,35 h = 105,9 km/h ( \Delta y / \Delta x )." Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl \Delta x als auch \Delta y gegen Null. Der Quotient \Delta y / \Delta x bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation

Eine Funktion, die ein offenes Intervall U auf die reellen Zahlen abbildet (f:U \to \mathbb), heißt differenzierbar an der Stelle x_0 \in U, falls der Grenzwert : \lim_ \frac = \lim_ \frac   (mit h = x - x_0) existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von f nach x an der Stelle x_0 und wird als : f\, '(x_0)   oder    \frac (x_0)   oder   \frac   notiert. Die Terme \mathrmx und \mathrmy heißen Differentiale. Sie stellen infinitesimal kleine Zahlenwerte dar (vgl. Einleitung). In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen fast wie mit "normalen" Variablen. Ein Differential ist auch Teil der üblichen Notation für Integrale. Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt. Newton benutzte einen Punkt über der abzuleitenden Größe, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist. Die Notation mit Apostroph (f \, ') geht auf Lagrange zurück, der sie 1797 in seinem Buch Théorie des fonctions analytiques einführte. Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat:
Eine Funktion heißt in einem Punkt x_0 differenzierbar, falls eine Konstante L existiert, so dass : \lim_ \frac=0. Der Zuwachs der Funktion f , wenn man sich von x_0 nur wenig entfernt, lässt sich also durch Lh sehr gut approximieren, man nennt die Ableitung L deswegen auch die Linearisierung von f . Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen. Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig. Die Umkehrung gilt jedoch überraschender Weise nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernhard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist; Karl Weierstraß veröffentlichte 1861 als erster eine derartige Funktion. Ein bekanntes Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.

Ableitung als eine Funktion

Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x_0 , bezeichnet mit f\,'(x_0), beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle x_0. Nun wird x_0 im Allgemeinen nicht die einzige Stelle sein, an der f differenzierbar ist. Man kann daher versuchen, jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich von f die Ableitung an dieser Stelle (also f\,'(x)) zuzuordnen. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion f\,', deren Definitionsbereich eine Teilmenge des Definitionsbereiches von f ist. f\,' heißt die Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von f . Beispielsweise hat die Quadratfunktion f: \, x \mapsto x^2 an einer beliebigen Stelle x_0 die Ableitung f\,'(x_0) = 2 x_0. Daher ist die zugehörige Ableitungsfunktion f\,' gegeben durch f\,': \, x \mapsto 2x. Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion e^x und ihre Vielfachen. Ist die Ableitung stetig, dann heißt f stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung C(\Omega) des Raums der auf der Menge \Omega stetigen Funktionen wird der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen mit C^1(\Omega) abgekürzt.

Komplexe Differenzierbarkeit

Bisher wurde nur von reellen Funktionen gesprochen. Für Differenzierbarkeit von Funktionen mit komplexen Argumenten wird einfach die Definition mit der Linearisierung verwandt. Überraschenderweise ist die Bedingung hier viel einschränkender als im reellen: So ist beispielsweise die Betragsfunktion nirgendwo komplex differenzierbar. Gleichzeitig ist jede in einer Umgebung einmal komplex differenzierbare Funktion automatisch beliebig oft differenzierbar, es existieren also alle höheren Ableitungen.

Berechnung von Ableitungen

Wenn man die Ableitung einer Funktion berechnet, sagt man, man differenziert diese Funktion; diese Tätigkeit heißt Differentiation. Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B. x^n , \sin(x),...) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann \Delta x gegen Null gehen. Allerdings vollzieht der typische Mathematikanwender diese Berechnung nur ein paar wenige Male in seinem Leben nach. Später kennt er die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen auswendig und schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk (z. B. im Bronstein-Semendjajew oder unserer Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen) nach.

Beispiel für die elementare Berechnung einer Ableitungsfunktion

Gesucht sei die Ableitung von f(x) = x^3. Dann berechnet man den Differenzenquotienten als : \frac = \frac = \frac :: = \frac :: = \frac :: = 3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2 und erhält im Limes \Delta x \to 0 die Ableitung : f'(x_0) = \lim_(3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2) = 3 x_0^2 .

Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion

f (x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar: Für x > 0 gilt f(x)=x und damit : \lim_ \frac = \lim_\frac = 1 . Für x < 0 gilt dagegen f(x)=-x und folglich : \lim_ \frac = \lim_\frac = -1 . Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert kein beidseitiger Grenzwert. f ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar (an allen anderen Stellen aber sehr wohl!). : Bild:Abs_x.PNG Betrachtet man den Graphen von f , so kommt man zu der Erkenntnis, dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph keine "Knicke" enthält. Ein typisches Beispiel für nirgends differenzierbare stetige Funktionen, deren Existenz zunächst schwer vorstellbar erscheint, sind fast alle Pfade der Brownschen Bewegung. Diese wird zum Beispiel zur Modellierung der Charts von Aktienkursen benutzt.

Beispiel für eine nicht überall stetig differenzierbare Funktion

Aktienkursen Beachte: Selbst wenn f überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion : f(x) = \begin x^2\cos \left( \frac \right) & x\ne 0\\ 0 & x=0 \end in jedem Punkt differenzierbar, aber die Ableitung : f'(x) = \begin 2x\cos \left(\frac \right) + \sin \left(\frac \right) & x\ne 0\\ 0 & x=0 \end ist im Punkt 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Ableitungen zusammengesetzter Funktionen (z. B. \sin(2x) oder x^2 \cdot \exp(-x^2) ) führt man mit Hilfe von Ableitungsregeln (siehe unten) auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück. Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Seien f , g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, n und a reelle Zahlen, dann gilt:

Der Fundamentalsatz der Analysis

Die wesentliche Leistung von Leibniz war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt. Er besagt: Ist I\subset\mathbb R ein Intervall, f:I\to\mathbb R eine stetige Funktion und a\in I ein beliebiger Punkt, so ist die Funktion : F:I\to\mathbb R,\; x\mapsto \int_a^x f(t)\,dt stetig differenzierbar, und ihre Ableitung ist F\,'=f . Hiermit ist also eine Anleitung zum Integrieren gegeben: Wir suchen eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist. Dann gilt: : \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ein weiterer zentraler Satz der Differentialrechnung ist der Mittelwertsatz, der von Cauchy bewiesen wurde. Es sei f: [a,b] \to \mathbb eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a < b ) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein x_0 \in (a,b), sodass f'(x_0) = \frac gilt.

Mehrfache Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar, etc. sein. Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert werden. Sie hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Orts \mathbf(t) nach der Zeit t die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die Beschleunigung. Wenn Politiker sich erfreut über den "Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl" äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die unangenehme Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren. Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden: : f = f^ = \frac , : f = f^ = \frac , ... Naheliegenderweise wird die Multi-Apostroph-Schreibweise bei niedrigen, die eine oder andere Zahlen-Schreibweise bei hohen Ableitungen bevorzugt. Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen f\,^ legt man außerdem fest, dass f\,^=f' und f\,^=f.

Taylor-Reihen und Glattheit

Ist f eine im Intervall I (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle a und x aus I die Darstellung der so genannten Taylor-Formel: : f(x) = T_ (x) + R_ (x) mit dem so genannten n -ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a : T_(x) = \sum_^n \left( (x-a)^k \right) = f(a) + \frac(x-a) + \frac(x-a)^2 + \ldots + \frac(x-a)^n und dem so genannten ( n+1 )-ten Restglied : R_(x) = \frac\int_a^x (x-t)^n f^(t) dt . Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylor-Formel erweitert werden auf die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a : : f(a) + f'(a) (x-a) + \frac (x-a)^2 + \ldots + \frac (x-a)^n + \ldots = \sum_^\infty \frac (x-a)^n . Es stellt sich allerdings heraus, dass die Existenz aller Ableitungen nicht ergibt, dass f sich durch die Taylor-Reihe darstellen lässt. Anders ausgedrückt: Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt. Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff hinreichend glatt. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion so oft differenzierbar ist, wie nötig um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.

Anwendung: Berechnung von Minima und Maxima

Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich im Spezialfall monotoner Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den Stellen, wo die Ableitung Null ist. In diesem Abschnitt nehmen wir das Polynom : = \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x als Beispiel. Die Abbildung zeigt den Verlauf von f(x) , f'(x) und f(x) . Bild:Einekurvendiskussionmod.png

Waagerechte Tangenten

Besitzt eine Funktion f(x):I \to \mathbb in einem inneren Punkt c des zusammenhängenden Intervalls I ihren größten oder kleinsten Wert, also für alle x dieses Intervalls gilt f(c)>f(x) oder f(c) und existiert darüber hinaus die Ableitung im Punkt c , so kann die Ableitung dort nur gleich Null sein f'(c)=0. Geometrische Deutung dieses Satzes von Fermat ist, dass die Funktion eine parallel zur x -Achse verlaufende Tangente, auch waagerechte Tangente genannt, besitzt. Folglich ist die Steigung Null an der Stelle x=c . Lediglich die notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximal- oder Minimalwertes einer Funktion in einem Intervall ist durch den Satz von Fermat gegeben. Deswegen kann es sich um einen Hochpunkt (lokales Maximum), einen Tiefpunkt (lokales Minimum) oder einen Sattelpunkt handeln. Wesentlich ist die Bedingung, der Differenzierbarkeit der Funktion im Punkt x=c für den Satz von Fermat. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert. Im Beispiel ist : = f'(x) wird 0 bei x=1 und x=3 . Die zweite Ableitung f(x) beschreibt die Steigung von f'(x) , also die Änderung der Steigung von f(x) . Ist f(x)>0 , so ändert sich f'(x) von negativen zu positiven Werten, also liegt ein lokales Minimum von f(x) vor. Im Falle f(x)<0 ändert sich die Steigung vom positiven zu negativen Werten, das bedeutet ein lokales Maximum von f(x) . Im Beispiel ist f(1) = -2 und f(3)=2 . Mit Hilfe der Ableitungen lassen sich noch weitere Eigenschaften der Funktion analysieren, wie Wendepunkte, Sattelpunkte, Konvexität oder die oben schon angesprochene Monotonie. Die Durchführung dieser Untersuchungen wird im Artikel Kurvendiskussion beschrieben.

Ein Beispiel für angewandte Differentialrechnung

Kurvendiskussion In der Mikroökonomie werden beispielsweise verschiedene Arten von Produktionsfunktionen analysiert, um daraus Erkenntnisse für makroökonomische Zusammenhänge zu gewinnen. Hier ist vor allem das typische Verhalten einer Produktionsfunktion von Interesse: Wie reagiert die abhängige Variable Output y (produzierte Menge eines Gutes), wenn der Input x (Produktionsfaktor, z.B. Arbeit oder Kapital) um eine (infinitesimal) kleine Einheit erhöht wird? Ein Grundtyp einer Produktionsfunktion ist etwa die neoklassische Produktionsfunktion. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass der Output bei jedem zusätzlichen Input steigt, dass aber die Zuwächse abnehmend sind. Es sei beispielsweise für einen Betrieb die Produktionsfunktion : y = f(x) = \sqrt\ \mathrm\ x \ge 100 ::(gezeichnet ist y = f(x) = 10\sqrt = \sqrt\ \mathrm\ x \ge 100) maßgebend. Die erste Ableitung dieser Funktion ergibt unter Anwendung der Kettenregel : \frac = \frac()^ \cdot 400 = \frac . Da der Wurzelausdruck der ersten Ableitung nur positiv werden kann, sieht man, dass der Ertrag bei jedem zusätzlichen Input steigt. Die zweite Ableitung ergibt : \frac = 200 \left(-\frac \right) ()^ \cdot 400 = -\frac . Sie wird für alle Inputs negativ, also fallen die Zuwächse. Man könnte also sagen, das bei steigendem Input der Output unterproportional steigt.

Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen

Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also mit einer reellen oder komplexen Zahl als Argument) zu Grunde. Funktionen, die Vektoren auf Vektoren oder Vektoren auf Zahlen abbilden, können ebenfalls eine Ableitung haben. Allerdings ist eine Tangente an die Funktion in diesen Fällen nicht mehr eindeutig bestimmt, da es viele verschiedene Richtungen gibt. Hier ist also eine Erweiterung des bisherigen Ableitungsbegriffs notwendig.

Partielle Ableitungen

Wir betrachten zunächst eine Funktion, die von \mathbb^n\to\mathbb geht. Ein Beispiel ist die Temperaturfunktion: Wir messen in Abhängigkeit vom Ort die Temperatur in unserem Zimmer, um zu beurteilen, wie effektiv die Heizung ist. Bewegen wir das Thermometer in eine bestimmte Richtung, bemerken wir eine Veränderung der Temperatur. Diese ist die so genannte Richtungsableitung. Die Richtungsableitungen in spezielle Richtungen, nämlich die der Koordinatenachsen, nennt man auch die partiellen Ableitungen. Insgesamt lassen sich für eine Funktion in n Variablen insgesamt n partielle Ableitungen errechnen: : k = \frac : = \lim_ \frac;\quad i \in [1; n] Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Gradient oder Nablavektor anschreiben. Partielle Ableitungen können wieder differenzierbar sein und