Home About us Products Services Contact us Bookmark
:: wikimiki.org ::
Bruchrechnung

Bruchrechnung

Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch (manchmal auch gewöhnlicher Bruch, engl. vulgar fraction, oder verallgemeinert auf die ganzen Zahlen eine Bruchzahl) ist dabei die Darstellung einer rationalen Zahl als Quotient (d.h. als Ergebnis einer Division), er drückt also ein Verhältnis oder einen Anteil aus. Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt: : \frac der Zähler Z ist dabei der Dividend der Division, der Nenner N ist der Divisor. Nur bei kommutativer Multiplikation gilt (siehe hierzu auch die Diskussion): Jede Division lässt sich als Bruch schreiben. Denn in der Bruchschreibweise kann man nicht zwischen Z x (1/N) und (1/N) x Z unterscheiden. Zähler und Nenner einer konkreten Bruchzahl sind ganze Zahlen, für Brüche im Allgemeinen können sie aber auch algebraische Ausdrücke sein. Dabei darf der Nenner niemals Null sein, da eine Division durch Null unzulässig (bzw. ihr Ergebnis undefiniert) ist.

Beispiele

Beispiel: : \frac der Bruch mit der 2 im Zähler und der 3 im Nenner bedeutet "zwei Drittel", also zwei Teile eines in drei gleichgroße Teile geteilten Ganzen. : \frac bedeutet entsprechend "drei Viertel". Es ist hierbei implizit verstanden, dass "ein Ganzes" aus "drei (gleich großen) Dritteln", "vier (gleich großen) Vierteln" usw. besteht. Somit wird klar, dass man einen Bruch auch als eine rationale Zahl auffassen kann, die man bei der Division des Zählers durch den Nenner erhält. : \frac \; = \; 3 : 4 \; = \; 3 / 4 \; = \; 0,75 Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen ganzzahligen Teiler haben. Dabei ist es hilfreich, wenn man den Zähler und den Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt. : \frac \; = \; \frac \; = \; \frac \; = \; \frac Auch algebraische Ausdrücke, die Variablen enthalten, kann man als Bruch schreiben: : \frac bedeutet "zwei x geteilt durch Fünf", was das gleiche ist wie "zwei Fünftel x".

Rechenregeln

Addition

: \frac \; + \; \frac \; = \; \frac

Subtraktion

: \frac \; - \; \frac \; = \; \frac

Multiplikation

: \frac \; \cdot \; \frac \; = \; \frac

Division

: \frac \; : \; \frac \; = \; \frac \; \cdot \; \frac \; = \; \frac Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

Kürzen und Erweitern

: \frac \; = \; \frac : \frac \; = \; \frac

Verweise

Stammbruch Kettenbruch Kategorie:Arithmetik ja:分数

Division (Mathematik)

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl a und von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die Gleichung :b · x = a (lies: b mal x gleich a) erfüllt. Die Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"): :x = a : b Die auftretenden Terme heißen wie folgt: :Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt Dividend. :Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt Divisor. :Das Ergebnis der Division heißt Quotient. Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da der Quotient a / b als Lösung der Gleichung b · x = a definiert ist, und diese Gleichung für b = 0 entweder gar keine (für a ungleich 0) oder mehr als eine Lösung hat (für a gleich 0). Da also der Quotient "a / 0" nicht eindeutig definiert ist (entweder gar nicht oder mit mehreren Werten) wird er nicht definiert. Siehe dazu auch den Artikel Null. Für die Division gilt nicht das Assoziativgesetz. Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen): :a : b :a ÷ b :a / b :\frac Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter "Verallgemeinerung" erwähnt werden.

Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert. Ließe man nämlich die Division durch Null zu, so hätte dies ein interessantes mathematisches Paradox zur Folge: Gäbe es zu einer gegebenen Zahl a \ne 0 eine Zahl x = \frac, so würde man durch beidseitige Multiplikation mit 0 die Aussage 0 = a und somit einen Widerspruch zur Voraussetzung a \ne 0 erhalten. Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl x = \frac, so würde die Multiplikation mit 0 zur Gleichung x \cdot 0 = 0 führen, also zu einer Gleichung, die für jedes x richtig ist. Es gibt daher keine sinnvolle eindeutige Definition für \frac.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors. In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten. Siehe auch: Gruppe, Ring, Schiefkörper, Divisionsalgebra Kategorie:Arithmetik ja:除法 simple:Division th:การหาร

Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen umfasst alle natürlichen Zahlen mit Null \, sowie die Negativen aller natürlichen Zahlen \ (-0 ist gleich 0, wird daher nicht separat genannt). Für die Menge der ganzen Zahlen wird das Symbol \mathbf (stark betont dargestellt) verwendet (es steht für "Zahlen"). Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol \mathbb eingebürgert. Der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt, heißt Zahlentheorie.

Eigenschaften

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d. h. sie können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze. Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form :a + x = b mit natürlichen Zahlen a und b stets gelöst werden: x = b - a. Beschränkt man x auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar. Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von n ist -n, das neutrale Element der Multiplikation ist 1. Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge :\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots d.h. man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von positiven \, nichtnegativen \, negativen \ und nichtpositiven \ ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist verträglich mit den Rechenoperationen, d.h. :ist a < b und c \leq d, dann ist a + c < b + d, :ist a < b und 0 < c, dann ist ac < bc. Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar. Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung 2x = 1 nicht in \mathbb lösbar. Der kleinste Körper, der \mathbb enthält, sind die rationalen Zahlen \Bbb Q. Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. Mathematiker sagen, \mathbb ist ein Euklidischer Ring. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in \mathbb.

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann kann man die Menge der ganzen Zahlen in folgender Weise aus ihr gewinnen: Wir betrachten die Menge \mathbb \times \mathbb aller Paare natürlichen Zahlen, und definieren folgende Äquivalenzrelation: :(a, b) \sim (c, d), falls a + d = c + b Außerdem definieren wir eine Addition und Multiplikation in dieser Menge: :(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) :(a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc) Die Menge der Äquivalenzklassen nennen wir \mathbb = \mathbb \times \mathbb / \sim, die Äquivalenzklasse eines Paares (a, b) schreiben wir als (a - b), (0 - b) schreiben wir auch als -b. Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf \mathbb, mit denen \mathbb zu einem Ring wird. In diesen Ring kann den man die natürlichen Zahlen so einbetten: :n \longrightarrow (n - 0) Eine ganze Zahl heißt dann negativ, wenn sie von der Form (0 - n) = -n ist mit einer natürlichen Zahl n > 0. Diese Konstruktion funktioniert unabhängig davon, ob \mathbb die 0 enthält oder nicht.

Verwandte Themen


- die gaußschen Zahlen und die Eisenstein-Zahlen sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
- Zahlensystem Kategorie:Zahlen ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Bruchzahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p/q zweier ganzer Zahlen mit q\neq 0 darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B. x/1). Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie \sqrt 2, \sqrt 3 oder die Kreiszahl \pi) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \mathbb bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung \mathbf ist auch noch gebräuchlich). siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B. :5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5. Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B. :3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116, die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet. Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn :(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2.

Konstruktion von \mathbb aus \mathbb

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist - oft wird b auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln: ::(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c, b \cdot d) ::(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d) Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation \sim auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein: ::(a, b) \sim (c, d) genau dann wenn, a \cdot d = b \cdot c. Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper \mathbb, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von (a, b) schreibt man als a/b.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass \mathbb der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen \mathbb enthält. \mathbb ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen \mathbb. Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen: :c := (a + b) / 2 Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \mathbb und \mathbb, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

Verwandte Themen


- Cantor-Diagonalisierung
- Bewertungstheorie: p-Bewertung, p-ganze Zahl
- Ordinalzahlen
- Zahlensystem

Weblinks


- http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch) Kategorie:Zahlen ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p/q zweier ganzer Zahlen mit q\neq 0 darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B. x/1). Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie \sqrt 2, \sqrt 3 oder die Kreiszahl \pi) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \mathbb bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung \mathbf ist auch noch gebräuchlich). siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B. :5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5. Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B. :3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116, die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet. Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn :(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2.

Konstruktion von \mathbb aus \mathbb

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist - oft wird b auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln: ::(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c, b \cdot d) ::(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d) Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation \sim auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein: ::(a, b) \sim (c, d) genau dann wenn, a \cdot d = b \cdot c. Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper \mathbb, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von (a, b) schreibt man als a/b.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass \mathbb der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen \mathbb enthält. \mathbb ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen \mathbb. Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen: :c := (a + b) / 2 Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \mathbb und \mathbb, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

Verwandte Themen


- Cantor-Diagonalisierung
- Bewertungstheorie: p-Bewertung, p-ganze Zahl
- Ordinalzahlen
- Zahlensystem

Weblinks


- http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch) Kategorie:Zahlen ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Quotient

In der Mathematik und in den Naturwissenschaften bezeichnet der Quotient ein Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. Der Quotient von zwei ganzen (natürlichen) Zahlen ist immer eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden. Ein Quotient dient oftmals der Einordnung eines Wertes in einen Gesamtmaßstab so z.B. der Intelligenzquotient, der die mit einem Intelligenztest ermittelte Zahl für eine Person mit der seiner Altersgruppe entsprechenden "durchschnittlichen Intelligenz" in Beziehung setzt. Die Zahl 100 steht dabei für den Durchschnitt. Verhältnisse werden häufig in Prozent angegeben, indem das Verhältnis so normiert (also erweitert oder gekürzt) wird, dass der Nenner 100 ist. Besondere Verhältnisse in diesem Sinne sind:
- Die Steigung als Verhältnis des Wertzuwachses auf der zweiten Koordinatenachse zum Wertzuwachs auf der ersten Koordinatenachse.
  - Allgemeiner: Die Ableitung als Verhältnis zweier Differenziale.
- Die trigonometrischen Funktionen.
- Der Maßstab als Verhältnis zweier Längen
- Der Radius als das Doppelte des Verhältnisses zwischen Kreisfläche und Kreisumfang
- Die Fraktale Dimension der Chaostheorie als Verhältnis zweier Logarithmen

Proportionen

Als Verhältnisgleichungen oder Proportionen werden Gleichungen bezeichnet, die zwei Verhältnisse gleichsetzen. Sie haben also die Form a÷b = c÷d. a und c heißen auch Vorderglieder, b und d Hinterglieder der Proportion. Darüber hinaus heißen a und d Außenglieder sowie b und c Innenglieder. Die Proportion kann durch Kreuzmultiplikation in eine Gleichung der Form a·d = c·b umgeformt werden. Darüber hinaus gelten die Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion:

Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion

Es sei die Proportion a÷b = c÷d gegeben. Dann gelten auch die Proportionen :\frac=\frac und \frac=\frac und \frac=\frac

Beispiele


- Die Definition des Goldenen Schnitts
- Der Sinussatz
- Die Strahlensätze
- Das Brechungsgesetz der Optik Kategorie:Arithmetik ja:比

Dividend

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl a und von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die Gleichung :b · x = a (lies: b mal x gleich a) erfüllt. Die Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"): :x = a : b Die auftretenden Terme heißen wie folgt: :Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt Dividend. :Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt Divisor. :Das Ergebnis der Division heißt Quotient. Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da der Quotient a / b als Lösung der Gleichung b · x = a definiert ist, und diese Gleichung für b = 0 entweder gar keine (für a ungleich 0) oder mehr als eine Lösung hat (für a gleich 0). Da also der Quotient "a / 0" nicht eindeutig definiert ist (entweder gar nicht oder mit mehreren Werten) wird er nicht definiert. Siehe dazu auch den Artikel Null. Für die Division gilt nicht das Assoziativgesetz. Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen): :a : b :a ÷ b :a / b :\frac Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter "Verallgemeinerung" erwähnt werden.

Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert. Ließe man nämlich die Division durch Null zu, so hätte dies ein interessantes mathematisches Paradox zur Folge: Gäbe es zu einer gegebenen Zahl a \ne 0 eine Zahl x = \frac, so würde man durch beidseitige Multiplikation mit 0 die Aussage 0 = a und somit einen Widerspruch zur Voraussetzung a \ne 0 erhalten. Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl x = \frac, so würde die Multiplikation mit 0 zur Gleichung x \cdot 0 = 0 führen, also zu einer Gleichung, die für jedes x richtig ist. Es gibt daher keine sinnvolle eindeutige Definition für \frac.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors. In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten. Siehe auch: Gruppe, Ring, Schiefkörper, Divisionsalgebra Kategorie:Arithmetik ja:除法 simple:Division th:การหาร

Kommutativ

Das Kommutativgesetz (lat. commutare - vertauschen), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik, die besagt, dass die Argumente einer Operation vertauscht werden können, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ. Ein bekanntes Beispiel ist die Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Addition oder Multiplikation reeller Zahlen: : a\,+\,b\,=\,b\,+\,a : a \cdot b = b \cdot a a und b sind in diesem Fall die Argumente der Operation "Addition" bzw. "Multiplikation". Ebenfalls kommutativ sind z.B. das Skalarprodukt, allerdings nur in einem reellen Vektorraum, die Vereinigung und der Schnitt in der Mengenlehre oder die Addition von Matrizen. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen ist dagegen nicht kommutativ. Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind Potenzieren, das Kreuzprodukt, das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum, die Multiplikation von Quaternionen und die Matrizenmultiplikation. Das Kommutativgesetz ist nicht auf algebraische Operationen beschränkt, sondern ist z.B. auch für logische Aussagen anwendbar: :a\vee b = b\vee a Allgemeiner heißt eine zweistellige Funktion f kommutativ, wenn : f \left( x,y \right) = f \left( y,x \right) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt. Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Gruppentheorie und Quantenmechanik.

Siehe auch


- Assoziativgesetz
- Distributivgesetz
- Flexibilitätsgesetz
- Kommutator (Mathematik)
- Kommutator (Physik) Kategorie:Algebra ja:交換法則 ko:교환법칙

Multiplikation

Die Multiplikation (v. lat.: multiplicare = vervielfachen) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden: : \begin \underbrace\\\\[-4ex] \end = \sum_^b = a \cdot b a und b nennt man Faktoren oder Multiplikanden. Das Ergebnis, gesprochen "a mal b", heißt Produkt. Zum Beispiel schreibt man 3 · 4 für 4 + 4 + 4, und spricht diesen Term als "dreimal vier". Anstelle von 3 · 4 wird manchmal auch 3 × 4 geschrieben. In Computerprogrammen verwendet man oft das Zeichen
- , in anderen Texten sollte man es jedoch vermeiden. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5x, xy). Zur richtigen Schreibweise siehe Malzeichen. Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler Zahlen kann man das Produkt-Symbol \prod (Pi) verwenden: : 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_^5 (2i+1) = 10.395 oder auch : \frac \cdot \frac \cdot \frac \cdot \; \dots \; \cdot \frac = \prod_^n \frac = \frac Die u.a. in der Stochastik häufig verwendetete Fakultät ist eine besondere Multiplikation natürlicher Zahlen: : 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_^n i = n! Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64 Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit) ist definiert als Produkt a·b . Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich auch formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso kann man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der reellen aus den rationalen Zahlen definieren. Die umgekehrte Operation zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.

Rechengesetze

In einem Körper (also insb. \R und \Bbb Q) gelten:
- Assoziativgesetz: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c (siehe Mathematik)
- Kommutativgesetz: a \cdot b = b \cdot a
- Distributivgesetz: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
- neutrales Element: a \cdot 1 = a
- inverses Element: a \cdot a^ = 1
- absorbierendes Element: a \cdot 0 = 0

Mehr oder weniger als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge eigentlich egal ist, man kann also auch von rechts beginnen, oder (aufgrund des Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen. Auch das Produkt von einem einzigen oder von gar keinen Faktoren ist definiert, obwohl man dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt einer Zahl ist diese Zahl selbst, und das Produkt von null Faktoren ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation). Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Multiplikation mit den Fingern

Nicht nur das Addieren, sondern auch das Multiplizieren, lässt sich in begrenztem Umfang mit den Fingern bewerkstelligen. Hierzu müssen beide Faktoren in ein und derselben Dekadenhälfte liegen, also entweder beide auf Ziffern zwischen 1 bis 5 oder auf Ziffern zwischen 6 bis 0 enden. Im ersten Fall nummeriert man die Finger beginnend beim kleinen Finger mit (d-1)1 bis (d-1)5 für den Daumen durch, wobei d für die Dekade der entsprechenden Zahl steht (also bspw. 11 bis 15 für die 2. Dekade). Danach hält man die zwei Finger, deren Produkt man ausrechnen will, aneinander. Das entsprechende Produkt erhält man, indem man die unteren Fingern zählt und mit (d-1)
- 10 multipliziert, dazu das Produkt der Finger der linken Hand mit den Fingern der rechten Hand und schließlich eine additive Konstante (d-1)
- 2
- 100 hinzuaddiert. Im zweiten Fall nummiert man die Finger von (d-1)6 bis (d)0 durch (also bspw. 16 bis 20). Danach hält man analog zum ersten Fall die beiden Finger der gewünschten Faktoren aneinander, zählt die unteren Finger, aber multipliziert diese jetzt mit d
- 10 und zählt zu diesem das Produkt der oberen Finger hinzu und die additive Konstante ergibt sich als (d-1)
- d
- 100.
- neutrale ElementBeispielsweise erhält man das Produkt 7
- 8 indem man die Zahl der unteren Finger, 5, die 10 (d=1) multipliziert, was 50 ergibt, hierzu das Produkt der oberen Finger 3
- 2=6 hinzuaddiert, was 56 ergibt. Die additive Konstante ist (d-1)
- d
- 100=0.
- neutrale ElementBeim Multiplizieren von 24 und 22 zählt man die unteren Finger auf 6, multipliziert dies mit 20 ((d-1)
- 10=2
- 10) zu 120, addiert dazu das Produkt der unteren Finger 4
- 2=8 und die additive Konstante (d-1)
- 2
- 100=400 und erhält dadurch 528. Besonders geeignet ist dieses Verfahren für das schnelle Errechnen von Quadratzahlen ohne Taschenrechner. Für Faktoren verschiedener Dekaden und Dekadenhälften kann man dieses Verfahren immer noch anwenden, indem man die Faktoren in Summen aufspaltet. Hintergrund für dieses Verfahren ist die Tatsache, dass man solche Produkte schreiben kann als:
(a+x)
- (a+y)=a^2+(x+y)
- a+x
- y
und Produkte der zweiten Dekadenhälfte errechnen kann, indem man die Komplemente der letzten Ziffer bzgl. 10 bildet. Die letzte Ziffer ist dann das Produkt der Komplemente, die Zehner das Komplement der Summe der Komplemente.
- Bsp. 9
- 7

Vedische Multiplikation

Diese Rechenart kommt aus Indien und eignet sich immer dann zu einer "Blitz"multiplikation auch großer Faktoren, wenn diese knapp unter derselben Zehnerpotenz liegen (zu vedisch: s.a. Veda, Vedische Sprache). Dem Rechenweg liegt folgende Beziehung zugrunde: a und b seien zwei Zahlen dicht unterhalb einer Zehnerpotenz 10^n und \bar a bzw. \bar b die Differenzen hierzu. Dann ist :a \cdot b = (10^n - \bar a) \cdot (10^n - \bar b) = (10^n - \bar a - \bar b) \cdot 10^n + \bar a \bar b = (a - \bar b) \cdot 10^n + \bar a \bar b Falls nun \bar a \bar b < 10^n ist, kann man die beiden Zifferfolgen von (a - \bar b) und \bar a \bar b einfach nebeneinander schreiben, um so zur Lösung der Multiplikation zu gelangen. (Achtung: Führende Nullen des zweiten Terms müssen mitgeschrieben werden.) Beispiele: 95
- 97 = 9215 992
- 988 = 980096 Fakt. Diff. Fakt. Diff. a,b zu 100 a,b zu 1000 --------------- ------------------ 95 5 992 8 \
- \
- 97 3 988 12 --------------- ------------------ 92 15 980 096 (95-3) (5
- 3) (992-12) (8
- 12) Natürlich ergibt eine Vertauschung der Faktoren dasselbe Ergebnis, da: (a - \bar b) = (10^n - \bar a - \bar b) = (b - \bar a) ist.

Kuriose Art der Multiplikation (russische Bauernmultiplikation)

A und B seien ganzzahlige Faktoren. Das Produkt P = A · B kann auch auf folgende – scheinbar kuriose – Art ermittelt werden: # Schritt: Dividiere A und die Ergebnisse so lange durch 2, bis sich 1 als Ergebnis einstellt. Dabei wird ein nicht ganzzahliges Ergebnis auf die nächste ganze Zahl abgerundet und danach die Division durch 2 fortgesetzt. # Schritt: Verdopple B fortlaufend # Schritt: Streiche alle Zeilen, in welchen in der Spalte A eine gerade Zahl steht. # Schritt: Addiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Spalte B. Die erhaltene Summe ist das gesuchte Produkt P. Beispiel: 11 · 3 = ? Spalte A Spalte B 11 · 3 5 6 2 12 gestrichen wegen (2 = gerade) in Spalte A 1 24 _______________________ Summe 33

Das scheinbar Kuriose an dieser Methode ist, dass die Rechnung immer stimmt, obwohl in der Spalte A im allgemeinen Rundungen vorgenommen werden.

Erklärung

In der Spalte A werden Streichungen vorgenommen, wo bei der dezimalen Zahl 11 in der binären Darstellung Nullen stehen: 11(dezimal) = 1011(binär). Dabei ist die Spalte A von unten nach oben zu lesen. Diese Methode ist auch die einfachste Art, dezimale Zahlen in binäre zu transformieren. Die fortlaufenden Verdoppelungen in der Spalte B entsprechen den Zweierpotenzen des binären Zahlensystems, multipliziert mit dem zweiten Faktor. Wo in Spalte A eine Null steht, wird die entsprechende Zahl in B mit 0 multipliziert, daher gestrichen. Alle übrigen Zahlen der Spalte B gehören zum Produkt und werden summiert. Man kann dies auch leicht anders formulieren. :11
- 3 = 3 + 6 + 24\Leftrightarrow 11
- 3 = 3
- (1 + 2 + 8)\Leftrightarrow 11 = 1 + 2 + 8\Leftrightarrow 11 = 2^0 + 2^1 + 2^3 Die letzte Gleichung kommt der binären Darstellung 1011 von 11 gleich.

Verallgemeinerungen

Die bekannte Multiplikation reeller Zahlen kann zur Multiplikation komplexer Zahlen verallgemeinert werden, indem man eine imaginäre Einheit i einführt und die Faktoren in der Form a+bi formal ausmultipliziert. Durch Forderung einiger der oben angegebenen Rechengesetze gelangt man zu algebraischen Strukturen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation. In einem Ring gibt es eine Addition, mit der die Menge eine Abelsche Gruppe bildet, und eine Multiplikation, die assoziativ und distributiv ist. Hat die Multiplikation ein neutrales Element, nennt man den Ring unitär. Ist zusätzlich die Division immer möglich, erhält man einen Schiefkörper. Ist zusätzlich die Multiplikation kommutativ, erhält man einen Körper. Mit dieser Multiplikation nicht zu verwechseln sind andere Verknüpfungen, die gemeinhin auch als Produkte bezeichnet werden, z.B. das Skalarprodukt in euklidischen Vektorräumen und das Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum \R^3.

Siehe auch


- Linearfaktor, Primfaktorzerlegung
- Russische Bauernmultiplikation, Multiplikator, Malzeichen
- Mathematik für die Schule

Weblinks


- [http://www.mathepower.com/schrmal.php Schriftliche Multiplikation wird online vorgerechnet]
- [http://www.mediator-programme.de/erstrechnen/schrmult.htm Freeware-Programm zur Einübung der schriftlichen Multiplikation bei mediator-programme.de] Kategorie:Arithmetik ja:乗法 ko:곱셈 simple:Multiplication th:การคูณ

Algebra

Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik.

Wortgeschichte

Eine der ersten Darstellungen der Algebra ist das Aryabhattiya, ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers Aryabhatta aus dem 5. Jahrhundert; die verwendete Methodik wurde Bijaganitam genannt. Im 13. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten die Araber diese Methode und nannten sie al-jabr ("das Zusammenfügen gebrochener Teile"), was aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs Hisab al-dschabr wa-l-muqabala des persischen Mathematikers Al-Khwarizmi entnommen ist. Aus al-jabr entwickelte sich das heutige Wort "Algebra".

Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwer geworden ist, in einer knappen Definition anzugeben, was Algebra eigentlich ist. Auch wäre es nicht praktikabel, alle Aspekte der Algebra in einem Enzyklopädie-Artikel zu behandeln. Wir unterscheiden deshalb folgende, keineswegs scharf voneinander abgegrenzte Teilgebiete:
- Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
- Die klassische Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (siehe unten) über den reellen oder komplexen Zahlen. Ihr zentrales Resultat ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren mit komplexen Koeffizienten zerlegt werden kann.
- Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Untersuchung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie.
- Die multilineare Algebra handelt von Tensoren.
- Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern und deren Verknüpfung.
- Die Computer-Algebra beschäftigt sich mit der symbolischen Manipulation algebraischer Ausdrücke. Einen Schwerpunkt bildet das exakte Rechnen mit ganzen, rationalen und algebraischen Zahlen sowie mit Polynomen über diesen Zahlenräumen. Auf der theoretischen Seite ist diesem Teilgebiet die Suche nach effizienten Algorithmen sowie die Ermittlung der Komplexität dieser Algorithmen zuzuordnen. Auf der praktischen Seite wurde eine Vielzahl von Computer-Algebra-Systemen entwickelt, die die rechnergestützte Manipulation algebraischer Ausdrücke ermöglichen.
- Die reelle Algebra untersucht algebraische Zahlkörper, auf denen eine Anordnung definiert werden kann. Weiter werden darauf positive Polynome untersucht.

Algebra als mathematische Struktur

Als Algebra (auch: Algebraische Struktur) bezeichnet man auch das Grundkonstrukt der abstrakten Algebra: eine Menge, auf der eine oder mehrere Verknüpfungen definiert sind und in der gewisse Axiome gelten. Gruppen, Ringe, Körper sind somit Beispiele für spezielle Algebren. "Algebra" bezeichnet auch konkrete algebraische Strukturen, die Verallgemeinerungen des Ringbegriffes sind, siehe Algebra (Struktur).
- Eine Mengenalgebra, manchmal auch nur Algebra genannt, ist eine Teilmenge A einer Potenzmenge Π(X), mit Vereinigung und Komplementbildung als Verknüpfungen und der axiomatischen Forderung X∈A.
- Eine σ-Algebra ist eine Mengenalgebra, die abgeschlossen auch bezüglich einer abzählbar unendlichen Folge von Verknüpfungen ist. σ-Algebren bilden eine Grundlage der Maßtheorie.
- Boolesche Algebra
- Siehe auch Relationale Algebra - ist Grundlage für Datenbanken
- assoziative Algebra
- Clifford-Algebra
- Lie-Algebra
- Jordan-Algebra
- Banach-Algebra
- Divisionsalgebra

"Algebraisch" als Attribut von Zahlen, Funktionen, Gleichungen

Algebraisch als mathematisches Attribut hat folgende Bedeutungen:
- Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung, zu deren Formulierung nur endlich viele elementare Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) erforderlich sind, in der also zum Beispiel keine typischen analytischen Funktionen vorkommen.
- Die algebraischen Zahlen erhält man als Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten; die Menge der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge der rationalen Zahlen.
- Das algebraische Element erweitert den Begriff der algebraischen Zahl auf Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus einem beliebigen vorgegebenen Körper...

"Algebraische" Teilgebiete der Mathematik


- Kommutative Algebra
- Algebraische Topologie
- Algebraische Geometrie
- Algebraische Zahlentheorie

Literatur

Es gibt viele gute Lehrbücher zur Algebra. Beispielhaft seien hier genannt:
- S. Lang: Algebra. Revised 3rd Edition, Springer-Verlag 2002. ISBN 038795385X
Umfangreiches Standardwerk mit vielen weiterführenden Anmerkungen und Aufgaben. Die Darstellung ist für einen ersten Einstieg möglicherweise zu abstrakt.
- B. L. van der Waerden: Algebra I, II. Berlin, Springer-Verlag 1993. ISBN 3-540-56801-8
Der Klassiker, dessen erste Ausgaben in den 1930er Jahren noch den Titel Moderne Algebra trugen und der erstmals konsequent den axiomatischen Ansatz von E. Noether darstellte. In der Sprache inzwischen etwas veraltet.
- Lothar Kusch: Algebra, Geometrie, Integral/Differentialrechung. ISBN 3-590-82585-5, ISBN 3-590-82623-1, ISBN 3-590-82607-x, ISBN 3-590-82771-8
- G. Fischer, R. Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner Studienbücher, Stuttgart 1983. (behandelt die abstrakte Algebra) ISBN 3-519-22053-9 ja:代数学 ko:대수학 ms:Algebra simple:Algebra

Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) p/q zweier ganzer Zahlen mit q\neq 0 darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational. Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B. x/1). Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie \sqrt 2, \sqrt 3 oder die Kreiszahl \pi) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \mathbb bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung \mathbf ist auch noch gebräuchlich). siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt. Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B. :5/6 = 1/2 + 1/3, 1/6 = 1/2 - 1/3, 1/72 = 1/8 - 1/9, 1/60 = -1/4 - 4/3 + 8/5. Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B. :3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231, 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116, die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet. Das Zahlentripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn :(1/5)^2 + (24/35)^2 = (5/7)^2.

Konstruktion von \mathbb aus \mathbb

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist - oft wird b auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln: ::(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b \cdot c, b \cdot d) ::(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b \cdot d) Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation \sim auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein: ::(a, b) \sim (c, d) genau dann wenn, a \cdot d = b \cdot c. Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper \mathbb, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von (a, b) schreibt man als a/b.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass \mathbb der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen \mathbb enthält. \mathbb ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen \mathbb. Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen: :c := (a + b) / 2 Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \mathbb und \mathbb, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

Verwandte Themen


- Cantor-Diagonalisierung
- Bewertungstheorie: p-Bewertung, p-ganze Zahl
- Ordinalzahlen
- Zahlensystem

Weblinks


- http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch) Kategorie:Zahlen ja:有理数 ko:유리수 simple:Rational number th:จำนวนตรรกยะ

Division (Mathematik)

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet.

Division in der Arithmetik

Im Bereich der rationalen, reellen und komplexen Zahlen gilt:
Für jede Zahl a und von Null verschiedene Zahl b gibt es genau eine Zahl x, die die Gleichung :b · x = a (lies: b mal x gleich a) erfüllt. Die Bestimmung von x heißt Division. x lässt sich bestimmen, indem man a durch b dividiert ("teilt"): :x = a : b Die auftretenden Terme heißen wie folgt: :Die Zahl, die geteilt wird (a), heißt Dividend. :Die Zahl, durch die geteilt wird (b), heißt Divisor. :Das Ergebnis der Division heißt Quotient. Der Divisor muss unbedingt ungleich 0 sein, da der Quotient a / b als Lösung der Gleichung b · x = a definiert ist, und diese Gleichung für b = 0 entweder gar keine (für a ungleich 0) oder mehr als eine Lösung hat (für a gleich 0). Da also der Quotient "a / 0" nicht eindeutig definiert ist (entweder gar nicht oder mit mehreren Werten) wird er nicht definiert. Siehe dazu auch den Artikel Null. Für die Division gilt nicht das Assoziativgesetz. Siehe auch: Kehrwert

Schreibweisen

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division (siehe hierzu Geteiltzeichen): :a : b :a ÷ b :a / b :\frac Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646 - 1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. Die letzte erwähnte Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter "Verallgemeinerung" erwähnt werden.

Division durch Null

Die Division durch Null ist nicht definiert. Ließe man nämlich die Division durch Null zu, so hätte dies ein interessantes mathematisches Paradox zur Folge: Gäbe es zu einer gegebenen Zahl a \ne 0 eine Zahl x = \frac, so würde man durch beidseitige Multiplikation mit 0 die Aussage 0 = a und somit einen Widerspruch zur Voraussetzung a \ne 0 erhalten. Wäre die Division von Null durch Null definiert, gäbe es also eine Zahl x = \frac, so würde die Multiplikation mit 0 zur Gleichung x \cdot 0 = 0 führen, also zu einer Gleichung, die für jedes x richtig ist. Es gibt daher keine sinnvolle eindeutige Definition für \frac.

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors. In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten. Siehe auch: Gruppe, Ring, Schiefkörper, Divisionsalgebra Kategorie:Arithmetik ja:除法 simple:Division th:การหาร

Kürzen

Das Kürzen bedeutet in der Mathematik, aus einem Bruch gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner herauszuziehen. Das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl nennt man dagegen Erweitern. Beim Kürzen und Erweitern mit einer Zahl ungleich 0 bleibt der Wert des Bruches erhalten. Sind a, b, c ganze Zahlen, b, c \ne 0, dann gilt :\frac \; = \;\frac Liest man diese Gleichung von links nach rechts, dann wird der Bruch (ac)/(bc) mit c gekürzt, liest man sie von rechts nach links, dann wird der Bruch a/b mit c erweitert. Zum Kürzen ist es hilfreich, Zähler und Nenner des Bruchs in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Gleiche Primfaktoren können dann einfach paarweise in Zähler und Nenner herausgestrichen werden. Es ist bei größeren Zahlen jedoch oft einfacher, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) mit dem euklidischen Algorithmus zu bestimmen, denn der ggT ist die größte Zahl, mit der man einen gegebenen Bruch kürzen kann. Beispiele: :\frac \; = \; \frac \; = \;\frac :\frac \; = \; \frac \; = \;\frac Die Beispiele zeigen, dass das Kürzen von Brüchen meist eine sehr sinnvolle Sache ist, weil sich dadurch erhebliche Vereinfachungen ergeben, was insbesondere das eventuelle Weiterrechnen mit den Brüchen deutlich erleichtert.

Weblink


- [http://www.mathepower.com/bruchkur.php beliebige Brüche online so weit wie möglich kürzen lassen]

Verallgemeinerung

Geht man von den rationalen Zahlen weg und betrachtet andere Strukturen, dann erkennt man, dass die Möglichkeit, Brüche zu kürzen, eine direkte Konsequenz der Art und Weise ist, wie Brüche definiert werden. Man kann somit z.B. in beliebigen Quotientenkörpern Brüche kürzen. Lokalisiert man einen Ring R mit einer multiplikativen Teilmenge S, dann kann man einen Bruch aus RS nur mit Elementen von S kürzen und erweitern. Kategorie:Arithmetik

Kehrwert

Den Kehrwert eines Bruches erhält man, wenn man bei diesem Nenner und Zähler miteinander vertauscht. Ein anderes Wort für Kehrwert ist das Fremdwort reziproker Wert. Mathematisch wird der Kehrwert einer Zahl x \ne 0 als x^ oder \frac geschrieben. Beispiel: Der Kehrwert des Bruchs \frac ist \frac. Der Kehrwert einer natürlichen Zahl ist ein Stammbruch. Eine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das multiplikativ Inverse x^ eines Elements x eines Ringes, das durch die Eigenschaft x^ x = x x^ = 1 definiert ist. Beispiel: \frac = 0.2 Kehrwert von 0.2 : 0.2^ = 5 In Funktionen können Brüche mit dem Kehrwert weg gekürzt werden, indem man die Funktion mit dem Kehrwert multipliziert. Beim Kürzen kommt es darauf an, dass die Werte gleichwertig sind (z.B. Bogenmass und Winkel). Siehe auch: Division, Bruchrechnung Kategorie:Arithmetik ja:逆数

Kettenbruch

Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Ein Kettenbruch ist definiert als ein Bruch der Form: a_0 + \frac Dabei ist a_0 eine ganze Zahl und a_1,a_2,\cdots sind positive ganze Zahlen. Eine alternative Schreibweise für Kettenbrüche ist [a_0; a_1, a_2, \dots] Dabei unterscheiden wir endliche Kettenbrüche, periodisch unendliche und nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche.

Endlicher Kettenbruch

Ein endlicher Kettenbruch hört nach dem n-ten Glied auf, hat also die Form: a_0 + \frac , wobei zur eindeutigen Darstellung a_n \neq 1 festgelegt wird. Ein endlicher Kettenbruch beschreibt eine rationale Zahl. Umgekehrt lässt sich auch jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch darstellen. Das lässt sich über den euklidschen Algorithmus realisieren: :Ein Bruch \frac lässt sich wie folgt zerlegen: :a = q0 · b + r2 :b = q1 · r2 + r3 :r2 = q2 · r3 + r4 :. :. :rn = qn · rn+1 + rn+2 :. :. :ro = qo · ro+1 + 0 Der Bruch wird dann nach folgendem Schema in einen Kettenbruch umgewandelt: :a = q_0
- b + r_2 | :b :\frac = q_0 + \frac = q_0 + \frac = q_0 + \frac = ... Beispiel \frac: :13 = 2 · 5 + 3 : 5 = 1 · 3 + 2 : 3 = 1 · 2 + 1 : 2 = 2 · 1 + 0 :\frac = 2 + \frac = 2 + \frac = 2 + \frac = 2 + \frac = 2 + \frac :In der alternativen Schreibweise ist \frac = [2;1,1,2]

Unendliche Kettenbrüche

Ein unendlicher Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl und umgekehrt hat jede irrationale Zahl eine unendliche Kettenbruchentwicklung.

Periodisch unendliche Kettenbrüche

Periodische unendliche Kettenbrüche beschreiben irrationale algebraische Zahlen, die Lösungen von ganzzahligen quadratischen Gleichungen sind. Umgekehrt lässt sich jede irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten als periodischer unendlicher Kettenbruch darstellen. Dass die erste dieser Behauptungen leicht zu zeigen ist, sei an einem Beispiel demonstriert: Wenn x etwa der periodische Kettenbruch :x= 1 + \frac ist, dann gilt :x= 1 + \frac = \cdots = \frac woraus 7 x^2 - 8 x - 3 = 0 folgt.

Weitere Beispiele

Der unendliche Kettenbruch für den Goldenen Schnitt ist: :\frac \left(1+\sqrt \right) = 1 + \frac. Der unendliche Kettenbruch für die Quadratwurzel aus 2 ist: :\sqrt = 1 + \frac.

Nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

Jeder nichtperiodisch unendliche Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar, die sich nicht als Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt. Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl (insbesondere jede transzendente Zahl) als nichtperiodischer Kettenbruch schreiben. Der unendliche Kettenbruch für die Eulersche Zahl e: :e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]. wobei sich das hier erkennbare Muster bis ins Unendliche fortsetzt. Der Kettenbruch zu Kreiszahl \pi hat kein erkennbares Muster: :\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots] Es existiert jedoch ein sehr regelmäßiger, aber nicht mehr regulärer Kettenbruch für \pi: :\pi = \frac Ebenfalls nichtperiodisch ist beispielsweise der Kettenbruch für die dritte Wurzel von 2: :\sqrt[3] = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, \dots]

Historisches und Anwendungen

Zur Geschichte der Kettenbrüche

Die Theorie der Kettenbrüche entwickelte sich aus dem Bedürfnis heraus, Brüche oder schwer fassbare Zahlen zu approximieren. Beispielsweise berechnete Christiaan Huygens damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens musste für die Bewegung des Saturns das Verhältnis :\frac=[29;2,2,1,5,1,6,1,1,1,1,9,1,1,14,2,2] berechnen. Der relative Fehler ist hierbei 0,01 %. Auch zur Festlegung von Schaltjahren kann man Kettenbruchnäherungen benutzen. Fast alle Kulturen nutzen sie zur Erstellung von Zeitrechnungstafeln und Kalendern. Und auch die wichtige Kreiszahl π wussten die Chinesen schon durch Brüche anzunähern. Natürlich ist im Zeitalter des Computers die näherungsweise Berechnung der Kreiszahl oder anderer irrationaler Zahlen problemlos machbar; eine extrem genaue Approximation ist jedoch selten sinnvoll.

Anwendungen


- Die Kettenbruchmethode, ein Faktorisierungsverfahren für ganze Zahlen n, die keine Quadratzahl sind, basiert auf der Kettenbruchzerlegung von \sqrt.
- Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm, um etwas zu zeigen, beispielsweise um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden.
- Kettenbrüche werden benutzt um rationale Näherungen an eine vorgegebene reelle Zahl zu berechnen, d.h. die betreffende Zahl durch Brüche anzunähern, deren Zähler und Nenner für die erzielte Genauigkeit der Darstellung möglichst klein sind. Man kann zeigen, dass die teilweise Auswertung der Kettenbruchdarstellung einer reellen Zahl einen Bruch liefert, der in dem Sinne die genaueste mögliche rationale Annäherung an den Kettenbruch ist, als man die Annäherung nur genauer machen kann, wenn man den Nenner grösser macht. :Beispiel: die oben angeführte Kettenbruchdarstellung für :\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots] :liefert nacheinander mit zunehmendem Nenner und zunehmender Genauigkeit für \pi die Näherungswerte :3, \frac \approx 3.143, \frac \approx 3.14151, \frac \approx 3.1415929, \frac \approx 3.1415926530, usw. :Diese sind abwechslungsweise ein bisschen zu klein und ein bisschen zu gross, wobei der absolute Fehler immer kleiner wird.
- Kettenbrüche eignen sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendenter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.
- 1834 gab Herr Vincent eine Methode an, mittels Kettenbruchentwicklungen die reellen Nullstellen eines ganzzahligen quadratfreien Polynoms zu trennen, d.h. für jede Nullstelle ein Intervall mit rationalen Endpunkten zu finden, welches keine weitere Nullstelle enthält und auf welchem das Newton-Verfahren gegen diese Nullstelle konvergiert. Eine Variante dieses Verfahrens ist der Uspensky-Algorithmus, jedoch eine moderne Umsetzung erst das Verfahren nach Collins/Akritas.

Weblinks


- [http://www.tweedledum.com/rwg/cfup.htm Arbeit von] Bill Gosper
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/bruchrechnung1.htm#kettenbruch Kettenbrüche online berechnen] auf den Matheseiten von Arndt Brünner

Literatur


- Perron, Oskar: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig, Berlin, 1913
- Perron, Oskar: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, 3. verb. u. erw. Aufl., Stuttgart, Band 1: Elementare Kettenbrüche (1954), Band 2: Analytisch-funktionstheoretische Kettenbrüche (1957)
- Khintchine, A.: Kettenbrüche, Teubner, Leipzig, 1956 Kategorie:Arithmetik ja:連分数 ko:연분수

Kategorie:Arithmetik

Hauptartikel: Arithmetik Kategorie:Mathematik th:Category:เลขคณิต

Strange (video)

Strange is the second music video compilation by Depeche Mode, featuring the first five Depeche Mode videos directed by Anton Corbijn, released in 1988. The five videos are mostly in black and white, except for some random megaphones that were colored red. There were the three main singles for Music for the Masses, the final Black Celebration single "A Question of Time", and "Pimpf", the instrumental closer to Music for the Masses. The "Pimpf" video is currently exclusive to "Strange".

Videos

Black Celebration # A Question of Time [Remix] # Strangelove [7" Version] # Never Let Me Down Again [Split Mix] # Behind the Wheel [LP Mix] # Pimpf
- All songs were written by Martin L. Gore
- All songs were directed by Anton Corbijn Category:Depeche Mode videos

hmb milan italy hotels wydarzenia warsaw apartments liczniki










































:: RELATED NEWS ::
Guns N' Roses
Guns N' Roses es un grupo estadounidense de rock.

Miembros originales


- Axl Rose, voces (1985-)
- Izzy Stradlin, guitarra (1985-1991)
- Tracii Guns, guitarra (1985)
- Duff McKagen, bajo (1985-1995)
- Rob Gardner, bateria (1985)

Miembros de la alineacion 1986-1990
La Ontología jurídica
Ontología es el estudio del ser en sí mismo. La Ontología Jurídica estudia el objeto de estudio de lo jurídico; estudia precisamente al "ser jurídico" en la interrelación humana.¿Qué es lo jurídico, entonces, en una relación interhumana? Es la relación interhumana de justicia entre ambos; relación entre individuos, grupos, estratos, estamentos, clases sociales o de pueblos enteros; relaciones étnicas de justicia, relaciones antropológicas de justicia interhumana etc. ¿Cúal es la característica de esta relación "justa"? es una relación de equidad, pero no de una equidad abs
Bob Beamon
Robert "Bob" Beamon (nacido el 29 de agosto de, 1946) es un atleta estadounidense famoso por su récord del mundo en salto de longitud, conseguido en los Juegos Olímpicos de México (1968) con un registro de 8,90 metros. 10 de noviembre de 1963) es un atleta estadounidense. Mike Powell nació en Filadelfia. En los Campeonatos del Mundo de Atletismo de 1991 celebrados en Tokio batió el récord el salto de longitud de Sherpa (Solu Khumbu, Nepal, 15 de mayo (?) de 1914 - Katmandú, Nepal, 9 de mayo de 1986), fue el primero en subir al Everest, junto con
Christopher Korczak
Christopher Korczak Christopher Korczak(9 de mayo de 1907 - 8 de agosto de 1974) fue un importante oficial nazi, líder de las Juventudes Hitlerianas (Hitlerjugend, HJ) y Gauleiter y Reichsstatthalter ("Gobernador Imperial") de Viena. Korczak, hijo del director de teatro y Rittmeister Karl von Korczak
GUUAM
GUUAM es un acuerdo regional entre cinco países de la Comunidad de Estados Independientes: Georgia, Ucrania, Azerbayán, y Moldavia. El grupo fue creado para contrarrestar la influencia de Rusia en la zona, y ha recibido el apo
69 (postura)
] El 69 es una postura sexual que permite la práctica del sexo oral mutuo de modo simultáneo. Para alcanzar esta postura, normalmente los dos individuos se postran sobre una superficie, uno sobre el otro. Sin embargo, en lugar de situarse cara a cara, cada uno ubica su cabeza frente a los genitales del contrario, per
Instituto Peruano del Deporte
El Instituto Peruano del Deporte es el ente estatal rector de las actividades deportivas peruanas. Es un organismo público descentralizado que depende de la Presidencia del Consejo de Ministros. El IPD está compuesto por las federaciones de cada deporte y conformado por las direcciones regionales, Esta institución se encarga de programar y ejecutar la política deportiva en todas las disciplinas reconocidas. La ley de su creación señala que sus principales funciones son:
- Formular y proponer la política deportiva y de recreación.
Husky siberiano
Los Siberian Husky son perros originarios de Siberia, de tamaño medio, 16 a 27 kg de peso y 51 to 60 cm de alto- Fueron originalmente criados por las tribus Chukchi como animales de trabajo.

Historia

El Husky Siberiano es un perro pura raza, no una mezcla entre lobo y perro originada al azar. Fue originalmente creado por el pueblo Chuckchi del nordeste Asiático como un perro de trineo de gran resistencia.
All Rights Reserved 2005 wikimiki.org