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Trigonometrie

Trigonometrie

Die Trigonometrie (von griechisch trígonon - Dreieck und métron - Maß) ist ein wichtiges Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik. Soweit Fragestellungen der ebenen Geometrie (Planimetrie) trigonometrisch behandelt werden, spricht man von ebener Trigonometrie; daneben gibt es die sphärische Trigonometrie, die sich mit Kugeldreiecken (sphärischen Dreiecken) befasst, und die hyperbolische Trigonometrie. Die folgenden Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf das Gebiet der ebenen Trigonometrie. Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks (Seitenlängen, Winkelgrößen, Längen von Dreieckstransversalen usw.) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen. Als Hilfsmittel werden die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen) sin (Sinus), cos (Kosinus), tan (Tangens), cot (Kotangens), sec (Secans) und csc (Kosekans) verwendet. Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen, beispielsweise auf Polygone (Vielecke), auf Probleme der Stereometrie (Raumgeometrie) und auf Fragen vieler anderer Gebiete (siehe unten).

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Besonders einfach ist die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt, ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der größte Innenwinkel. Ihm liegt die längste Seite (als Hypotenuse bezeichnet) gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt man Katheten. Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht, ist es sinnvoll, zwischen der Gegenkathete (dem gegebenen Winkel gegenüber) und der Ankathete (benachbart zum gegebenen Winkel) zu unterscheiden. center Man definiert nun: :\mbox = \frac :\mbox = \frac :\mbox = \frac Dabei ist es nicht ganz selbstverständlich, dass diese Definitionen sinnvoll sind. Von dem betrachteten Dreieck sind nämlich nur die Größen der Winkel bekannt, nicht aber die Seitenlängen. Verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit dem gegebenen Winkel sind aber immerhin untereinander ähnlich, sodass sie in ihren Seitenverhältnissen übereinstimmen. Beispielsweise könnte eines dieser Dreiecke doppelt so lange Seiten haben wie das andere. Die Brüche der genannten Definitionsgleichungen hätten in diesem Fall die gleichen Werte. Diese Werte hängen also nur vom gegebenen Winkel ab. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, von Funktionen der Winkel zu sprechen.

Beispiel: Berechnung einer Seitenlänge

In einem Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben: b = 78\,\mbox; \quad \alpha = 32^\circ; \quad \gamma = 90^\circ Aus diesen Angaben soll die Seitenlänge c ermittelt werden. Da die Ankathete von \alpha bekannt und die Hypotenuse gesucht ist, wird die Kosinus-Funktion verwendet. :\cos\alpha = \frac :c = \frac = \frac = \underline

Beispiel: Berechnung einer Winkelgröße

Von einem Dreieck ABC ist bekannt: a = 40\,\mbox; \quad b = 72\,\mbox; \quad \gamma = 90^\circ Gesucht ist der Winkel \beta. Die beiden gegebenen Seiten a und b sind die Ankathete und die Gegenkathete von \beta. Daher ist es sinnvoll, die Tangens-Funktion einzusetzen. :\tan\beta = \frac = \frac = 18 Während im letzten Beispiel für einen bekannten Winkel der Kosinuswert zu berechnen war, ist hier die Situation umgekehrt. Aus einem bekannten Tangenswert soll der zugehörige Winkel bestimmt werden. Man benötigt hierfür die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion, die so genannte Arcustangens-Funktion (arctan). Mit dieser erhält man: ... :\beta = \underline

Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis

Die bisher verwendeten Definitionen sind nur für Winkel unter 90° brauchbar. Für viele Zwecke ist man jedoch an trigonometrischen Werten größerer Winkel interessiert. Der Einheitskreis, das ist ein Kreis mit Radius 1, erlaubt eine solche Erweiterung der bisherigen Definition. Zum gegebenen Winkel wird der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt. Die x-Koordinate dieses Punkts ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels, die y-Koordinate der Sinuswert. center Die oben gegebene Definition von Sinus- und Kosinuswert durch x- und y-Koordinate lässt sich problemlos auf Winkel über 90° ausdehnen. Man erkennt dabei, dass für Winkel zwischen 90° und 270° die x-Koordinate und damit auch der Kosinus negativ ist, entsprechend für Winkel zwischen 180° und 360° die y-Koordinate und somit auch der Sinus. Auch auf Winkel, die größer als 360° sind, sowie auf negative Winkel lässt sich die Definition ohne Weiteres übertragen. Man beachte, dass in der modernen Herangehensweise die Beziehung zwischen Winkel und Sinus bzw. Kosinus dazu benutzt wird, um den Winkel zu definieren. Die Sinus- und Kosinusfunktion selbst werden über ihre Reihendarstellung eingeführt. Die weiteren vier trigonometrischen Funktionen sind definiert durch: :\tan\alpha = \frac :\cot\alpha = \frac = \frac :\sec\alpha = \frac :\csc\alpha = \frac

Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

Auch für beliebige Dreiecke (im Allgemeinen ohne rechten Winkel) wurden etliche Formeln entwickelt, die es gestatten, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere Sinussatz und Kosinussatz. Die Verwendung des Sinussatzes :\frac = \frac = \frac ist sinnvoll, wenn von einem Dreieck entweder zwei Seiten und einer der beiden gegenüber liegenden Winkel oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz :a^2 \, = \, b^2 + c^2 - 2 b c \cos\alpha :b^2 \, = \, a^2 + c^2 - 2 a c \cos\beta :c^2 \, = \, a^2 + b^2 - 2 a b \cos\gamma ermöglicht es, entweder aus drei gegebenen Seiten die Winkel auszurechnen oder aus zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel die gegenüber liegende Seite. Weitere Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten, sind der Tangenssatz, der Kotangenssatz (Halbwinkelsatz) und die mollweidesche Formeln.

Eigenschaften und Formeln

Die Artikel über die sechs trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Secans, Kosecans und die Formelsammlung Trigonometrie enthalten zahlreiche Eigenschaften dieser Funktionen und Formeln zum Rechnen mit diesen. Besonders häufig gebraucht werden die Komplementärformeln für Sinus und Kosinus :\sin(90^\circ-\alpha) \, = \, \cos\alpha :\cos(90^\circ-\alpha) \, = \, \sin\alpha sowie der trigonometrische Pythagoras :(\sin\alpha)^2 + (\cos\alpha)^2 \, = \, 1. Wichtig sind auch die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen und die Folgerungen daraus. Es geht dabei um trigonometrische Werte von Summen oder Differenzen von Winkeln. So gilt beispielsweise für die Sinusfunktion: :\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta

Anwendungsgebiete

Trigonometrie spielt in vielen Bereichen eine entscheidende Rolle: In der Geodäsie (Vermessung) spricht man von Triangulation, wenn man von Punkten bekannter Position aus andere Punkte anpeilt (Winkelmessung) und daraus trigonometrisch die Positionen der neuen Punkte bestimmt. In der Astronomie lassen sich auf entsprechende Weise die Entfernungen von Planeten, Monden und nahe gelegenen Fixsternen ermitteln. Ähnlich groß ist die Bedeutung der Trigonometrie für die Navigation von Flugzeugen und Schiffen und für die sphärische Astronomie, insbesondere für die Berechnung von Stern- und Planetenpositionen. In der Physik dienen Sinus- und Kosinus-Funktion dazu, Schwingungen und Wellen mathematisch zu beschreiben. Entsprechendes gilt für den zeitlichen Verlauf von elektrischer Spannung und elektrischer Stromstärke in der Wechselstromtechnik.

Geschichtliches

Vorläufer der Trigonometrie gab es bereits während der Antike in der griechischen Mathematik. Aristarchos von Samos nutzte die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke zur Berechnung der Entfernungsverhältnisse zwischen Erde und Sonne bzw. Mond. Von den Astronomen Hipparch und Ptolemäus ist bekannt, dass sie mit Sehnentafeln arbeiteten, also mit Tabellen für die Umrechnung von Mittelpunktswinkeln (Zentriwinkeln) in Sehnenlängen und umgekehrt. Die Werte solcher Tabellen hängen unmittelbar mit der Sinus-Funktion zusammen: Die Länge einer Kreissehne ergibt sich aus dem Kreisradius r und dem Mittelpunktswinkel \alpha gemäß :s = 2 r \sin\frac. Ähnliche Tabellen wurden auch in der indischen Mathematik verwendet. Arabische Wissenschaftler übernahmen die Ergebnisse von Griechen und Indern und bauten die Trigonometrie, insbesondere die sphärische Trigonometrie weiter aus. Im mittelalterlichen Europa wurden die Erkenntnisse der arabischen Trigonometrie erst spät bekannt. Die erste systematische Darstellung des Gebiets erfolgte im 15. Jahrhundert. Im Zeitalter der Renaissance erforderten die zunehmenden Problemstellungen der Ballistik und der Hochseeschifffahrt eine Verbesserung der Trigonometrie und des trigonometrischen Tafelwerks. Der deutsche Astronom und Mathematiker Regiomontanus (Johann Müller) fasste Lehrsätze und Methoden der ebenen und sphärischen Trigonometrie in dem fünfbändigen Werk "De triangulis omnimodis" zusammen. Die heute verwendeten Schreibweisen und die analytische Darstellung der trigonometrischen Funktionen stammen zum größten Teil von Leonhard Euler.

Literatur


- Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik: Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. Von Wolfgang Pauli (1991), ISBN 3-446-00755-5, KNO-NR: 04 41 57 51

Weblinks


- [http://www.mathematik.net/trigonometrie/tr.htm Übersicht zur Trigonomie]
- [http://www.nw.schule.de/st/goethe-ibb/mathe/1c.htm Interaktiver Trigonometrie Kurs - auch Download]
- [http://www.mathe-online.at/galerie/trig/trig.html Trigonometrische Java applets]
- [http://www.mathe1.de/mathematikbuch/trigonometrie_zusammenfassungtrigonometrie_85.htm Trigonometrie für Schüler im Online-Mathematikbuch]
- [http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/histtrig.html Zur Geschichte der Trigonometrie]
- [http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/ss_01/kurz/seminar/www.stud.uni-bayreuth.de/kurz/mathesem_ss01/mdidsem_ss01_node1.html Trigonometrische Funktionen] Kategorie:Trigonometrie ja:三角法 ko:삼각법 th:ตรีโกณมิติ

Geometrie

Die Geometrie (griech. „Landmessung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Einerseits versteht man unter "Geometrie" die zwei- und dreimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt; sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden. Andererseits umfasst der Begriff „Geometrie" eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Nichtfachtleute nur mehr schwer erkennbar ist.

Themenbereiche

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Geometrien

Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben:
- Geordnete Geometrie
- Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren - Das Hinzufügen von sogennanten Fernpunkten macht eine affine Geoemetrie zu einer projektiven.
- Euklidische Geometrie:
- Absolute Geometrie: Das sind die euklidischen zusammen mit den nichteuklidischen Geometrien.
- Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien. In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen, und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand von 2 Punkten ein euklidische Invariante darstellt. Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie). Im folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt:
- Projektive Geometrie Invariante sind das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten und die Kollinearität von Punkten
- Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten auf einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse.
- Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind invariant: Streckenverhältnisse, Winkel.
- Euklidische Geometrie, zusätzliche Invarianten sind Abstände von Punkten.
- Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Abstände von Punkten, und die Kollinearität von Punkten. Die nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie.

Gebiete der Mathematik, die zur Geometrie zählen

Die folgende Liste umfasst sehr unterschiedliche Dinge. Während etwa Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie sehr große und weitreichende Gebiete aktueller mathematischer Forschung darstellen, ist die Fraktale Geometrie zwar in der Öffentlichkeit ungleich populärer, jedoch um einige Größenordnungen insignifikanter.
- Differentialgeometrie
- Vektor- und Tensorrechnung
- Analytische Geometrie
- Quantengeometrie
- Stochastische Geometrie und Integralgeometrie
- Fraktale Geometrie
- Algebraische Geometrie
- Geometrische Topologie
- Algorithmische Geometrie (computational geometry)
- Kombinatorische Geometrie
- Planimetrie, Trigonometrie, ...
- Mathematische Kartografie

Geometrie in Schule und Unterricht

Traditionellerweise werden im Geometrieunterricht Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die Anfangsgründe des Geometrieunterrichts befassen sich etwa mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie Spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die Beschäftigung mit der dreidimensionalen euklidischen Geometrie. Interaktive Geometrie-Software ist z. B.:
- [http://www.geogebra.at GeoGebra] (kostenlos)
- GEONExT (kostenlos)
- [http://www.dynageo.de EUKLID DynaGeo] (shareware)
- Cabri-Geometre
- Geometer's Sketchpad
- [http://cinderella.de/de/download Cinderella] (kostenlos)
- [http://www.z-u-l.de Z.u.L.] (kostenlos) uvm. Siehe hierzu auch Dynamische Geometrie.

Geschichte der Geometrie

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619) Dynamische Geometrie In den frühen Hochkulturen gaben die Landvermessung, astronomische Beobachtungen und der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen, da diese es erforderten Winkel zu messen, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen und Pläne anzufertigen. Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse.
Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie auch z.B. zum Beweis zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. Die "Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie, und wurde vor allem im angelsächsichen Raum noch lange als Schulbuch verwendet (wozu es denkbar ungeeignet ist). Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreieckslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam. In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.
- Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie (Descartes Anhang "La Géométrie" zu "Méthode pour bien conduire sa raison, ..." 1637, Leiden) und
- im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
- Ab dem 19. Jahrhundert wird die Geschichte der Geometrie zu komplex, als dass sie hier auch nur annähernd beschrieben werden könnte. Wichtig im Zuge der Exaktifizierung mathematischer Begriffe wie Axiom und Beweis war die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie.

Literatur


- Euklid: Die Elemente.
- H. M. S. Coxeter: Introduction to Geometry.
- Georg Glaeser, Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2005, ISBN 3-8274-1588-8.

Siehe auch


- Geometrie/Geometrische Figuren
- Mathematik für die Schule

Weblinks


- http://www.rittershofer.de/mathe/geo/index.htm
- http://education.ti.com/deutschland/produkte/prosupport/faqs/cabri_000.html
- http://www.geogebra.at/
- http://cinderella.de
- http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/ ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Mathematik

Die Mathematik (vom altgr. Adjektiv μαθηματικός, mathēmatikos – zum Lernen gehörig; abgeleitet aus dem altgr. Verb μανθάνω, manthanō - lernen) ist eine Wissenschaft, die aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstanden ist. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben. Strukturen

Geschichte

Hauptartikel: Geschichte der Mathematik Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und R. Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von G. W. Leibniz und I. Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungsweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierterer algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten N. H. Abel und E. Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von A. L. Cauchy und K. Weierstrass ihre heutige strenge Form. Die von G. Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand. Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik, gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte E. Noether die Grundlagen der modernen Algebra, F. Hausdorff die Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, S. Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch S. Eilenberg und S. Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen (siehe auch: Teilgebiete der Mathematik, Geschichte der Mathematik sowie das Portal:Mathematik):
- das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik),
- die Untersuchung von Figuren (Geometrie – vorklassische Hochkulturen, Euklid),
- die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik - Aristoteles)
- das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Tartaglia, Mittelalter und Renaissance),
- Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Leonhard Euler, Gauß, Riemann),
- das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
- das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Stochastik – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
- die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, dem Verhalten im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
- die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Leonhard Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
- die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
- die Vermessung gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
- das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
- die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und wieder Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
- die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Kategorientheorie). Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht. Unterschieden werden ferner die reine Mathematik oder auch theoretische Mathematik, die sich nicht mit aussermathematischen Anwendungen befasst, wie sie u.a. der Brite Andrew Wiles und der Deutsche Gerd Faltings betreiben, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge sind fließend.

Kategorisierung der Mathematik

Kryptologie Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert. Im englischen und französischen Sprachraum wird Mathematik lediglich als Science eingestuft, eine weitere Differenzierung erfolgt dort in der Regel nicht. Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der Physik oder den Ingenieurwissenschaften, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Meistens gehört die Mathematik an deutschen Universitäten aber zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der Regel der akademische Grad eines Dr. rer. nat. verliehen. Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der Philosophie; beispielsweise ist die Logik ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den Geisteswissenschaften im weiteren Sinne rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten. Auch aus diesen Gründen wurden die Kategorien der Strukturwissenschaften bzw. Formalwissenschaften eingeführt, neben der Mathematik wird - von den Befürwortern dieser Kategorien - beispielsweise die Informatik dazu gezählt.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Informatik Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematischer Satz anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

Anwendungsgebiete

Massachusetts Institute of Technology Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen; Fourier hat beim Studium der Wellengleichung die Grundlage für den modernen Funktionsbegriff gelegt; Gauß hat im Rahmen der Hannover'schen Landesvermessung die Methode der kleinsten Fehlerquadrate entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungen systematisiert. Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben wie die Boole'sche Algebra in der Digitaltechnik oder der elektrischen Steuerungstechnik für Maschinen und Anlagen. Ein weiteres Beispiel ist das Differentialformenkalkül in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ferner galt lange Zeit die Beschäftigung mit der Zahlentheorie als reine intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne Kryptographie und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar. Siehe auch: Angewandte Mathematik.

Fortschreiten durch Problemlösen

Angewandte Mathematik Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet. Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“. Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“. Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt. Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren. Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Gruppentheorie Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien. Im allgemeinen verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr ist. Diese Widerspruchsfreiheit selber lässt sich aber nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen. Dies hat zur Folge, dass es immer noch nicht geklärt ist, ob die Mengenlehre, und damit die ganze Mathematik, widerspruchsfrei ist. Es gab schon Anfang des 20. Jahrhunderts Widersprüche wie die Russellsche Antinomie in der damaligen Mengenlehre, welche erst durch Zermelo und Fraenkel beseitigt werden konnten. Nach diesen ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre benannt, die der Satz von Axiomen ist, auf dem die heutige Mathematik üblicherweise aufbaut. Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein. Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen. Allerdings sind der Axiomatisierung der Mathematik auch Grenzen gesetzt. Kurt Gödel zeigte um 1930 in dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, dass es wahre Aussagen in jedem mathematischen Axiomensystem gibt, die nicht innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der Tabelle mathematischer Symbole

Mathematik als menschliche Tätigkeit

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen. siehe auch: Phylogenese mathematischer Fähigkeiten

Mathematik als Schulfach

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als nicht abwählbares Pflichtfach. Die für die Schule relevanten Inhalte werden in Mathematik in der Schule ausführlich behandelt. Mathematikdidaktik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Unterrichten von Mathematik beschäftigt.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man Mathematiker. Neben dem Mathematikstudium auf Diplom in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik oder Computermathematik eingerichtet worden. Ferner ist das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wird jetzt auch das Diplom auf Bachelor/Master-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an Semesterwochenstunden belegen müssen auch angehende Chemiker, Biologen, Physiker, Geologen, und Ingenieure. Die häufigsten Arbeitgeber für Diplom-Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, insbesondere im IT-Consulting. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Zitate


- Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater. Albert Einstein
- Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob I. Bernoulli
- Erstaunlich und entzückend ist die Macht zwingender Beweise, und so sind allein die mathematischen geartet. Galileo Galilei
- Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell

Literatur


- Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: Geschichte der Mathematik. DE: ISBN 3-486-11595-2 Ö: ISBN 3-209-02212-7
- Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik?. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000 ISBN 354063777X
- Glaeser, Georg: Der Mathematische Werkzeugkasten. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2004. ISBN 3-8274-1485-7.

Weblinks


- [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung]
- [http://www.mathematik.de/mde/presse/fuenfminuten/fuenfminuten.html "5 Minuten Mathematik"] Regelmäßige Kolumne des Mathematikprofessors Ehrhard Behrends zur Popularisierung der Mathematik
- [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm Interaktive Programme zu einer Vielzahl mathematischer Problemstellungen]
- [http://www.w-volk.de/museum/exposi.htm Zeugnisse über Mathematik]
- [http://www.webmath.com/ webmath.com - solve your math problem] Hervorragende englischsprachige Seite mit Berechnungsprogrammen zu unzähligen Problemen und deren Lösungswegen!
- [http://www.matheplanet.com/ matheplanet]
- [http://www.mathematik-wissen.de/ Mathematik-Wissen.de] [http://www.emath.de/ eMath.de] Mathematik für Schüler
- [http://www.zum.de/wiki/index.php/Mathematik Mathewiki von ZUM.de] Mathematik für Lehrer
- [http://mathworld.wolfram.com/ Mathworld.Wolfram.com] Die umfangreichste Mathematikquelle im Internet
- (http://www.mathepower.com/index.html) Diese Seite berechnet ihnen alles!
- [http://www.emis.de/ZMATH/ Zentralblatt für Mathematik: MATH-Datenbank]
- [http://nsm1.nsm.iup.edu/gsstoudt/history/images/images.html Images of Some Famous Mathematical Works] (Bilder berühmter mathematischer Werke)
- http://www.mathe-online.at/mathint.html Kategorie:Wissenschaft ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์

Planimetrie

Unter dem Begriff Planimetrie versteht man allgemein die Geometrie in der Ebene. Im Speziellen versteht man darunter die Messung von Flächen in der Ebene. Einfache Flächen wie die eines Kreises oder eines Rechtecks in der Ebene können aus bekannten Längenwerten berechnet werden. Unregelmäßige Flächen, wie z. B. die Fläche eines Ahornblattes, müssen mit planimetrischen Methoden abgeschätzt oder mit dem Planimeter ausgemessen werden.

Dreiecke

Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.

Gleichschenkliges Dreieck

Wenn in einem Dreieck ABC gilt: AC=BC (Figur 1), dann geht bei einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden durch C das Dreieck in sich über, weil beim Spiegeln alle Winkelweiten erhalten bleiben. Schlussfolgerung: Die Winkel a ( - Die beiden gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis.
- Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüberliegen, heißen Basiswinkel.
- Den Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
- In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte, die Seitenhalbierende und die Höhe der Basis sowie die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze identisch.
- Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks auffassen: Jede Seite ist gleichzeitig Schenkel und Basis und jede Ecke ist auch Spitze.

Gleichseitiges Dreieck

besteht aus gleich langen Seiten (jeder Winkel ist 60° groß (180°/3))

Rechtwinkliges Dreieck

Die 2 Katheten bilden den rechten Winkel. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Satz des Thales

Liegt eine Seite eines Dreiecks auf dem Durchmesser des Umkreises, so ist der Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt, ein rechter Winkel. Umkehrung: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Strecke vom Mittelpunkt der Hypotenuse zum Punkt gegenüber der Hypotenuse halb so groß wie die Hypotenuse.

Dreiecksungleichung

In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen größer als die Länge der dritten Seite.

Flächenberechnung

Allgemein berechnet man die Fläche eines Dreieckes als Fläche eines halben Parallelogramms. A = ½ g h g = Grundlinie h = Höhe d.h.: die Fläche = 2 Seiten
- Sinus des eingeschlossenen Winkels Zur Vermeidung von Winkelfunktionen, wenn keine Winkel gegeben sind: Bei gegebenen Seiten a,b,c errechnet man sich zunächst den Umfang U = a + b + c und danach s = U/2. Dann gilt nach der Heronschen Flächenformel A² = s
- (s-a)
- (s-b)
- (s-c) und A als die Quadratwurzel daraus.

Besondere Linien und Punkte

Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechten stehen senkrecht auf den Seitenmitten und schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.

Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierenden halbieren die Innenwinkel und schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.

Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierenden verbinden die Seitenmitten mit den gegenüber liegenden Ecken und schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.

Winkel am Kreis

Beispiel: Mittelpunktwinkel = 120° Umfangswinkel = 60° Sehnen-Tangenten-Winkel = 60°
- Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind alle gleich groß.
- Die Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.
- Die beiden Sehnen-Tangenten-Winkel gleich Umfangwinkel; halb so groß, wie Mittelpunktwinkel

Strahlensätze

2 Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt werden von 2 Parallelen geschnitten.

1. Strahlensatz

Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich Abschnitte auf dem einen Strahl zueinander, wie die gleich liegenden Abschnitte auf den anderen.

2. Strahlensatz

Vom Schnittpunkt ausgesehen verhalten sich die Parallelabschnitte wie zugehörigen Abschnitte ein und desselben Strahls!!

Kongruenz

Ein Dreieck ist dann kongruent mit einem anderen, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen deckungsgleich sind, also die gleiche Form haben.
- Ein Dreieck besteht aus 3 Seiten und 3 Winkeln (also 6 Angaben).
- 3 Angaben reichen aus, um ein Dreieck mit Zirkel und Geodreieck konstruieren zu können
- 5 Kombinationen: SSS, SWS, WSW, WWS, SSW
- Wenn 3 Winkel gegebenen sind, kann Dreieck nicht eindeutig gezeichnet werden, weil das Dreieck unendlich oft unterschiedlich groß gezeichnet werden kann.
- SSS bedeutet, dass Dreiecke kongruent sind, wenn die Länge der 3 Seiten mit dem anderen Dreieck übereinstimmen.
- SWS: Seite-Winkel-Seite: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.

Ähnlichkeit

2 Dreiecke sind ähnlich wenn,
- jede Seite Verhältnis
- zwei Winkel übereinstimmen (Hauptähnlichsatz)
- in einem Winkel und den anliegen den Seiten übereinstimmen
- in zwei Seiten übereinstimmen und der größte Winkel der größten Seite gegenüberliegt
- Ähnlichkeit ist nicht gleich Kongruenz

Weblink


- [http://www.in-situ.de/produkte/in_plane.htm Software zur Flächenberechnung] Kategorie:Ebene Geometrie

Kugeldreieck

Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreise zusammenstoßen.
Ähnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Allerdings versteht man unter der Länge einer Seite nicht etwa die Länge des Kreisbogens, sondern den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Eine Seite, die also beispielsweise einem Viertel des Kugel- und Großkreisumfangs entspricht, hat die Länge 90°. Die Innenwinkel (an den drei Ecken) sind definiert durch die Tangenten der Seiten - also die Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen die begrenzenden Großkreisbögen liegen.

Bild:Kugeldreieck.png

Eulersche Kugeldreiecke

Meist schränkt man den Begriff des Kugeldreiecks ein auf eulersche Kugeldreiecke (benannt nach Leonhard Euler), d.h. auf Kugeldreiecke, in denen alle Seiten und Winkel kleiner als \pi /bzw. 180°) sind. Ohne diese Einschränkung gäbe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche mehrere Kugeldreiecke.

Eigenschaften sphärischer Dreiecke

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt A_D eines Kugeldreiecks lässt sich aus den Winkeln \alpha, \beta und \gamma des Dreiecks (im Bogenmaß) und dem Kugelradius r berechnen: :A_D = (\alpha + \beta + \gamma - \pi) \cdot r^2 Dieser Zusammenhang leitet sich folgendermaßen her: Leonhard Euler Die drei durch die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bestimmten Geraden unterteilen die Kugeloberfläche in acht Dreiecke bzw. vier Gegendreieckspaare. Das in der Abbildung grün eingefärbte Dreieck bildet mit dem gelb eingefärbten Dreieck ABC ein Zweieck mit dem Öffunungswinkel \beta. Die blau und rot eingefärbten Dreiecke bilden mit dem Gegendreieck A’B’C’ Zweiecke mit den Öffnungswinkeln \alpha bzw. \gamma. Für die Flächeninhalte der Zweiecke gilt: :(I) A_\alpha = 2\alpha \cdot r^2 (Analog für die Zweiecke mit den Öffnungswinkeln \beta und \gamma.) Für die Flächeneinhalte A_b des blauen, A_g des grünen und A_r des roten Dreiecks gilt: :A_b = A_\alpha - A_D :A_g = A_\beta - A_D :A_r = A_\gamma - A_D Zusammen mit dem gelben Gegendreieck A’B’C’ füllen das blaue, das gelbe und das rote Dreieck die Hälfte der Kugeloberfläche aus: :\frac = A_b + A_g + A_r + A_D Setzt man (I) ein, ergibt sich: :\frac = (A_\alpha - A_D) + (A_\beta - A_D) + (A_\gamma - A_D) + A_D := A_\alpha + A_\beta + A_\gamma - 2A_D Mit den Gleichungen zur Berechnung der Kugeloberfläche und der Kugelzweiecke erhält man: :\frac = 2 \alpha r^2 + 2 \beta r^2 + 2 \gamma r^2 - 2 A_D Für A_D ergibt sich also: :A_D = \alpha r^2 + \beta r^2 + \gamma r^2 - \pi r^2 := (\alpha + \beta + \gamma - \pi)\cdot r^2 Auf der Einheitskugel mit dem Radius 1 gilt also: :A_D=\alpha + \beta + \gamma - \pi Die Summe (\alpha + \beta + \gamma)- \piwird als sphärischer Exzess bezeichnet.

sphärischer Exzess (Innenwinkelsumme im Kugeldreick)

Die Innenwinkelsumme im Kugeldreieck ist nicht konstant 180^\circ (bzw. \pi wie im euklidischen Dreieck. Für sie gilt bei allgemeinen sphärischen Dreiecken: :\pi < \alpha + \beta + \gamma < 5\pi bzw. 180^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 900^\circ In eulerschen Dreiecken gilt: :\pi < \alpha + \beta + \gamma < 3\pi bzw. 180^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 540^\circ Dies folgt aus der Gleichung für den Flächeninhalt eines Kugeldreiecks A_D, der größer als Null und kleiner als die Gesamtoberfläche der Kugel ist: :0 < A_D < 4 \pi r^2 :\Rightarrow 0 < (\alpha + \beta +\gamma -\pi)\cdot r^2 < 4\pi r^2 :\Rightarrow 0 < \alpha + \beta + \gamma -\pi < 4\pi :\Rightarrow \pi < \alpha + \beta + \gamma < 5\pi Da für eulersche Dreiecke gefordert wird, dass alle Winkel kleiner als \pi (bzw. 180°) sind, kann die Innenwinkelsumme in eulerschen Dreiecken nicht größer als 3 \pi sein. Der sphärische Exzess, also der Überschuss der Innenwinkelsumme \alpha + \beta + \gamma über \pi (bzw. 180°), kommt in der Differenz A_D=\alpha + \beta + \gamma - \pi zum Ausdruck. Bei Kugeldreiecken mit sehr kleiner Fläche (gegenüber der gesamten Kugeloberfläche) beträgt die Innenwinkelsumme näherungsweise wie im Euklidischen 180°.

Seitensumme

In allgemeinen sphärischen Dreiecken gilt für die Seitensumme :0 < a + b + c < 4\pi bzw. 0^\circ < a + b + c < 720^\circ In eulerschen Dreiecken gilt :0 < a + b + c < 2\pi bzw. 0^\circ < a + b + c < 360^\circ

Kongruenzsätze

Einheitskugel Auf der Kugel muss man zwischen den Kongruenzsätzen zu eulerschen und nichteulerschen Dreiecken unterscheiden. Für beide gilt, dass ähnliche Dreiecke bereits kongruent sind (ihr Flächeninhalt ist aufgrund der Proportionalität zum sphärischen Exzess bereits gleich). Der im euklidischen gültige Kongruenzsatz sww (Seite-Winkel-Winkel) hat auf der Kugel hingegen keine Gültigkeit (vgl. Abbildung). Die Kongruenzverhältnisse in eulerschen Dreiecken sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. Kongruenzsätze In nichteulerschen Dreiecken bestimmen sss und sws noch keine eindeutige Kongruenzklasse (vgl. Abbildungen). Kongruenzsätze

Seiten- und Winkelverhältnisse

Die sphärische Trigonometrie ermöglicht es, aus drei bekannten Größen (Seiten oder Winkeln) des Kugeldreiecks die übrigen zu berechnen.

Siehe auch

Kugelzweieck, Sphärische Trigonometrie, Einheitskugel, Sphärische Astronomie Kategorie: Geometrie

Dreieck

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der Euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten. In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist möglich.

Das beliebige (allgemeine) Dreieck

Definition und Eigenschaften

nichteuklidische Geometrie Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks. In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z.B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C. Häufig wird mit a,b,c auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite BC,CA,AB bezeichnet. Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, usw.
- Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
- Die Summe der Außenwinkel beträgt entsprechend 360°. Dabei wird für jeden Eckpunkt nur ein Außenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer identisch groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt demnach genau genommen 2 · 360° = 720°.
- Die Summe zweier Seiten eines Dreieck ist immer größer als die dritte Seite. Diese Beziehungen lassen sich in den sogenannten Dreiecksungleichungen ausdrücken. Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Hat man von einem beliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten S bzw. Winkel W), kann man die 3 fehlenden Angaben berechnen. Die 5 Auflösungsfälle werden symbolisch bezeichnet: SSS, SSW, SWS, SWW, WSW. Der 6. Fall WWW ist bei ebenen Dreiecken nicht lösbar, weil es de facto nur 2 Angaben sind, denn über die Winkelsumme im Dreieck (α+β+γ = 180°) läßt sich aus zwei bekannten Winkeln immer der andere bestimmen. Ohne gegebene Seite ist zwar die Form des Dreiecks gegeben, seine Größe bleibt aber offen. Für Berechnungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz am wichtigsten; zusätzlich kennt man den Projektionssatz sowie Tangenten- und Halbwinkelsätze. Den Sinussatz gibt es in 3 Varianten, von denen sich aber die dritte aus den beiden anderen ergibt: : \frac = \frac = \frac Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des "Pythagoras", mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen: : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos (\alpha) : b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos (\beta) : c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos (\gamma) Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, so beträgt der Winkel γ 90°. Damit gilt: \cos(\gamma)=\cos(90^\circ)=0. Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt somit die Formel : c^2 = a^2 + b^2

Dreiecksarten

Übersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken

Das gleichseitige Dreieck

Eigenschaften

"Pythagoras"
- Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen.
- Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
- Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
- Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
- Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
- Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Formeln

Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a gilt:

Das gleichschenklige Dreieck

ausgezeichneten Punkte des Dreiecks

Eigenschaften


- Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und die jeweils gegenüber liegenden Winkel gleich groß.
- Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
- Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel.
- Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
- In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis, die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der Basis und die Höhe zur Basis identisch.
- Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.
- Man kann die Höhe nur bestimmen, wenn man das Dreieck teilt und so den Satz des Pythagoras anwenden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

Eigenschaften


- Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
- Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
- Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Bei Kenntnis zwei der Angaben (a, b, c, p, q und h) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den, in der Tabelle aufgeführten Formeln berechnen. Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten (a und b). In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenüberliegende Kathete. Durch das Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lässt sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen. Satz des Pythagoras Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die geläufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

Sphärische Dreiecke

Dreiecke auf der Kugel nennt man sphärisch, wobei die 3 Seiten Teile von Großkreisen sind. Ihre Seitenlänge wird nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, cm usw.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt. Winkel Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°, wobei der "Überschuss" sphärischer Exzess heißt und in Formeln meist als ε bezeichnet wird: \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ + \epsilon. Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zusammen (ε = F / R², bzw. in Grad ε = 180°.F / R²π), worin R den Kugelradius und π die Kreiszahl 3,14159... bedeutet.
Der maximale Exzess von 360° tritt beim größtmöglichen "Dreieck" auf, das die halbe Kugeloberfläche umspannt: mit 3 gestreckten Winkeln hat es eine Winkelsumme von 3 mal 180° und ε = 540° - 180° = 360°. Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es z.B. den spärischen Sinussatz, den Cosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt - siehe Sphärische Trigonometrie. Sphärische Trigonometrie Sphärisches Zweieck: für manche Berechnungen auf der Sphäre - z.B. auf der Himmelskugel - sind auch Zweiecke nützlich. Die Formeln ergeben sich als Sonderfall des Dreiecks.

Hyperbolische Dreiecke

Zweieck Zur nichteuklidischen Geometrie - in der das Parallelen-Axiom nicht gilt - zählen z.B. auch Dreiecke auf einer Sattelfläche. Während eine Kugel überall konvex gekrümmt ist, haben Sattel- und andere hyperbolische Flächen sowohl konvexe als auch konkave Krümmung (ihr Produkt, das Krümmungsmaß, ist negativ). Entsprechend ist auch der Exzess negativ - d.h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelfläche ist kleiner als 180°. Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.
In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie.

Oft auftretende Dreiecksgrößen


- die Fläche
- die Höhen
- die Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten)
- die Winkelsymmetralen (Winkelhalbierenden)
- die Seitenhalbierenden
- der Inkreis
- der Umkreis Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete oder merkwürdige Punkte des Dreiecks bekannt sind.

Sätze rund um das Dreieck


- Kongruenzsätze
- Thaleskreis
- Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
- Südpolsatz
- Sinussatz
- Satz des Pythagoras, Kosinussatz
- Satz von Menelaos
- Satz von Ceva
- Satz von Stewart
- Satz des Heron (Fläche aus drei Seiten berechnen)
- Eulersche Gerade
- Feuerbachkreis
- Simsonsche Gerade
- Symmedianen und Lemoinepunkt
- Trigonometrie

Weblinks


- [http://www.zum.de/dwu/mdl001vs.htm Bilder verschiedener Dreiecksarten]
- [http://www.arstechnica.de/computer/JavaScript/dreieck.html Ein weiteres Programm zur Dreiecksberechnung]
- [http://www.ginko.de/user/burki/java/java2/Dreiecke.htm Java-Applet zur Veranschaulichung einiger Punkte im Dreieck] Kategorie:Dreiecksgeometrie ja:三角形 ko:삼각형 th:รูปสามเหลี่ยม

Trigonometrische Funktion

Mit trigonometrischen Funktionen oder auch Winkelfunktionen bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen (ursprünglich in rechtwinkligen Dreiecken). Tabellen mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben, die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken nutzen.

Übersicht der trigonometrischen Funktionen

Die elementaren trigonometrischen Funktionen sind :
- die Sinusfunktion (abgekürzt sin), :
- die Kosinusfunktion (abgekürzt cos), :
- die Tangensfunktion (abgekürzt tan oder tg) sowie deren Kehrwertfunktionen :
- Kosekansfunktion (Kehrwert des Sinus, csc) :
- Sekansfunktion (Kehrwert des Kosinus, sec) :
- Kotangensfunktion (Kehrwert des Tangens, cot) Zwischen diesen Funktionen bestehen enge Zusammenhänge. Genau genommen würde bereits eine der Funktionen ausreichen, um beliebige trigonometrische Probleme lösen zu können. Die Verwendung mehrerer verschiedener Funktionen ermöglicht jedoch eine Vereinfachung der Rechnungen und Formeln. Die Kotangensfunktion wird in Tabellen mit Funktionswerten von trigonometrischen Funktionen gerne genutzt, da man cot(x) zusammen mit der Tangensfunktion tabellieren kann. In sofern ist die Bedeutung von cot(x) etwas größer als die von sec(x) und csc(x).

Definition

Ursprünglich sind die Winkelfunktionen als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis 90 Grad definiert: :\sin\alpha = \frac, \cos\alpha = \frac, \tan\alpha = \frac Aus diesen Beziehungen folgt unmittelbar die Beziehung :\tan\alpha = \frac Die Ankathete des Winkels ist gleichzeitig die Gegenkathete des anderen spitzen Winkels \beta des rechtwinkligen Dreiecks; da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, und der rechte Winkel 90° zu dieser Summe beiträgt, ist dieser Winkel \beta = 90^\circ-\alpha und daher :\cos\alpha = \sin(90^\circ-\alpha) rechtwinkligen Dreiecken Die Winkelfunktionen können aber als Sekanten- und Tangentenabschnitte am Einheitskreis auch auf größere Winkel erweitert werden. Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefällt und liefern Sinus und Kosinus des Winkels. Die Tangenten in den Punkten x = 1 bzw. y = 1 schneiden den Schenkel ebenfalls und liefern dann in der Projektion auf die Achsen den Tangens und den Kotangens. Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls rückwärts verlängert werden, um einen Schnittpunkt zu erzielen. Auf diese Weise können jedem Winkel von 0 bis 360 Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden, die nun freilich auch negativ werden können (siehe Abbildung). Die oben angegebenen Beziehungen gelten dabei weiterhin. In der Analysis werden Sinus und Kosinus in der Regel über Potenzreihen definiert, wobei der Winkel im Bogenmaß angegeben wird. Näheres siehe in den Artikeln Sinus und Kosinus sowie Tangens.

Umrechnungstabelle

Die Vorzeichen der Winkelfunktionen in Abhängigkeit vom Quadranten gibt die folgende Tabelle an: Der Betrag wird wie folgt umgerechnet:

Anwendung der trigonometrischen Funktionen

Hauptsächlich werden die trigonometrischen Funktionen im Vermessungswesen genutzt. Für eine Liste von Formeln zur Berechnung von Größen am Dreieck siehe den Artikel Dreiecksgeometrie. Weiterhin sind sie in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik wichtig. Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion, die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird.

Umkehrung der trigonometrischen Funktionen

In manchen Situationen werden die trigonometrischen Winkelfunktionen benötigt, um aus Seitenverhältnissen Winkel zu berechnen. Dazu werden die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot - die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen - verwendet. Auf Taschenrechnern sind sie häufig (irreführenderweise) mit sin-1 usw. bezeichnet, was die Umkehrung zu sin andeuten solle. Die Arcus-Funktionen werden verwendet, um zu einem Seitenverhältnis den Winkel zu berechnen. Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen ist bei ihnen zu klären, in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt.

Funktionale Zusammenhänge

siehe: Formelsammlung Trigonometrie

Weblinks


- [http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/i.html#inverseWinkelfunktionen inverse Winkelfunktionen] ja:三角関数 Kategorie:Trigonometrie Kategorie:Analytische Funktion

Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt). Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet. In der Schulmathematik lernt man zunächst einfache Funktionen kennen wie: :y = 2x + 3 oder y = x2. Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite Eigenschaft: Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet. Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung. Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt: :Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat: :
- f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt. :
- zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist. Oft möchte man aber auch die Wertemenge B explizit Teil der Funktion machen, und definiert: :Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt. Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen


- f\colon A \to B
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f \subseteq A \times B,
- : "Funktion f von A nach B"
- f\colon x \mapsto f(x)
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) \in f.
- : "x wird abgebildet auf f von x"
- : "x wird f von x zugeordnet"
- : "y ist f von x"
- : "y ist das Bild von x unter der Abbildung f". Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich genannt, die Wertemenge B auch Wertebereich. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch "x-Werte", die Elemente von B, heißen salopp auch "y-Werte". Funktionswerte heißen dagegen nur die Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f:R->R kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y=f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionenplotter gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: f: \mathbb \to \mathbb,\;\; x \mapsto f(x)=x^2 Die Nachfolger-Funktion: s:\mathbb \to \mathbb ,\;\; x \mapsto s(x)=x+1

Wichtige Begriffe


- Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
- Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) =
- Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f -1(y) = . Man sagt auch Faser von y.
- Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f -1(M) = .
- Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
- Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
- Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften


- Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
- Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
- Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element des Wertebereichs genau ein Urbild hat.
- Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
- Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind


- Beschränktheit
- Differenzierbarkeit
- Glattheit
- Integrierbarkeit
- Konvergenz
- Monotonie
- Stetigkeit
- Konvexität
- Holomorphie
- Homogenität

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

analytische Funktion
- Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.
  - homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  - allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
  - Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x2 + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
  - Potenzfunktion
  - Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = an·xn + an-1·xn-1 + ... + a1·x + a0 oder
f(x) = \sum_^n a_i\cdot x^i
  - Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
  - Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
- Transzendente Funktionen Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und der Wurzelfunktion besteht. Hierzu zählen:
  - Exponentialfunktion
  - Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
  - Logarithmus
  - Kreis- und Hyperbelfunktionen
    - Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
    - Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
    - Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccosec
    - Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
- Spezielle Funktionen
  - Gammafunktion, Betafunktion, Zetafunktion
  - Elliptische Funktion
  - Hermitesches Polynom und Hermitesche Funktion
  - Bessel-Funktion
  - Legendre-Polynome
  - Kugelflächenfunktionen
  - Harmonische Funktion
  - Hurwitzpolynom
- sonstige Funktionen
  - Logistische Funktion
  - Gaußsche Glockenkurve
  - Lorentzkurve
  - Voigt-Profil

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind


- Betragsfunktion
- Maximumfunktion und Minimumfunktion
- Gaußsche Ganzzahlfunktion
- Heaviside-Funktion

Weitere Funktionen


- Charakteristische Funktion
- Vorzeichenfunktion
- Primitiv-rekursive Funktion
- Ackermannfunktion
- Phifunktion
- Zahlentheoretische Funktion
- Deltafunktion
- Fehlerfunktion
- Lokal konstante Funktion

Siehe auch


- Funktionsschar
- Funktion höherer Ordnung
- Mathematik für die Schule
- Satz von der impliziten Funktion
- Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes Kategorie:Analysis Kategorie:Mengenlehre ja:関数 (数学) ko:함수 (수학) th:ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

Kosinus

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind mathematische Funktionen aus der Klasse der trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel), der Kosinus ist das Verhältnis der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Hypotenuse. :\mbox = \frac :\mbox = \frac Im rechtwinkeligen Dreieck lassen sich Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definieren; für beliebige Winkel ist der Sinus als y-Koordinate und der Kosinus als x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis definiert, mittels Potenzreihendarstellung lässt sich die Definition auf komplexe Argumente verallgemeinern.

Herkunft des Namens

Die Bezeichnung „Sinus“ leitet sich von dem lateinischen „sinus“ ab, was soviel heißt wie „Bogen“ oder „Busen“. Das Wort ist mit „jiva“ aus dem Sanskrit verwandt, wo es etwa „Bogensehne“ bedeutet. Im Arabischen entwickelte sich das Wort zu „jiba“: „Tasche“ oder „Kleiderfalte“. „Kosinus“ bedeutet „Sinus des Komplementärwinkels“.

Geometrische Definition

Definition mit rechtwinkeligem Dreieck

Komplementärwinkel Der Sinus und der Kosinus definieren sich über die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Betrachtet man den Winkel zwischen Hypotenuse und einer der beiden Katheten, dann ist der Sinus das Verhältnis von der dem Winkel gegenüberliegenden Seite (die eine Kathete ist) zur Hypotenuse, und der Kosinus das Verhältnis von der Kathete, die einen Schenkel des Winkel bildet, zur Hypotenuse (die den anderen Schenkel des Winkel bildet). Formelmäßig gilt hier: Ist c die Hypotenuse und liegt der Winkel α zwischen c und der Kathete b, also der Kathete a gegenüber, dann ist der Sinus : \sin (\alpha) = \frac und der Kosinus :\cos (\alpha) = \frac Da aus geometrischen Gründen die Hypotenuse die längste Seite ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten auch stets sin (α) ≤ 1 und cos (α) ≤ 1. Betrachtet man statt α den gegenüberliegenden Winkel β, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α ist die Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α ist die Ankathete von β, es gilt also :\sin (\beta) = \frac und :\cos (\beta) = \frac Da im rechtwinkeligen Dreieck α + β = 90° gilt, folgt : cos(α) = sin(90° - α) und : sin(α) = cos(90° - α). Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus, nämlich der Sinus des Komplementärwinkels. Aus dem Satz des Pythagoras folgt die Beziehung :sin²(α) + cos²(α) = 1 .

Definition mit Einheitskreis

Satz des Pythagoras Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis Da im rechtwinkeligen Dreieck der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete Werte von 0 bis 90 Grad annehmen kann, sind Sinus und Kosinus zunächst nur für solche Winkel definiert. Für eine allgemeine Definition betrachtet man einen Punkt P mit den Koordinaten (x,y) auf dem Einheitskreis, also x^2+y^2=1. Der Ortsvektor von P schließt mit der x-Achse einen Winkel \alpha ein. Der Koordinatenursprung (0,0), der Punkt (x,0) auf der x-Achse und der Punkt P(x,y) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt \sqrt=1. Die Ankathete des Winkels \alpha ist der Vektor (x,0) der Länge x, es gilt also :\cos(\alpha)=x\! Die Gegenkathete des Winkels \alpha ist der Vektor von (x,0) nach (x,y), also der Vektor (0,y) der Länge y, es gilt also :\sin(\alpha)=y\! Die y-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der x-Achse, die x-Koordinate dem Kosinus des Winkels. Setzt man diese Definition in den anderen Quadranten fort, so lassen sich Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definieren. Für negative Winkel betrachte man die Beziehung :\sin(-\alpha)= -\sin(\alpha) und :\cos(-\alpha)= \cos(\alpha), aus der sich Sinus und Cosinus für den vierten Quadranten, also Winkel zwischen -90 und 0 Grad berechnen lassen. Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade. Für Winkel größer 90 Grad betrachte man die Beziehung :\sin(90^\circ+\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha) und :\cos(90^\circ+\alpha)=-\cos(90^\circ-\alpha), aus der sich Sinus und Cosinus für den zweiten und dritten Quadranten, also Winkel zwischen 90 und 270 Grad berechnen lassen. Für Winkel kleiner -90 Grad und größer 270 Grad ergeben sich Sinus und Kosinus aus den Beziehungen :\sin(\alpha)= \sin(\alpha+360^\circ) und :\cos(\alpha)= \cos(\alpha+360^\circ); Sinus und Kosinus sind also periodische Funktionen mit Periode 360 Grad.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion können für reelle Argumente nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen: Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π Radiant) ist, d. h. \sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha). Außerdem gilt \sin(\alpha + 180^\circ) = -\sin(\alpha).

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

Der Kosinus ist ein um 90° (bzw. π/2 Radiant) phasenverschobener Sinus, es gilt \cos(\alpha)=\sin(\alpha+90^\circ). In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen: Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Kosinus daraus, dass der Kosinus so wie der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π Radiant) ist, d. h. \cos(\alpha + 360^\circ) = \cos(\alpha). Außerdem gilt \cos(\alpha + 180^\circ) = -\cos(\alpha).

Wichtige Funktionswerte

Eine Reihe einfach zu merkender und häufig verwendeter Werte:
- \sin(0^\circ)=\cos(90^\circ)=\frac=0
- \sin(30^\circ)=\cos(60^\circ)=\frac=\frac
- \sin(45^\circ)=\cos(45^\circ)=\frac=\sqrt
- \sin(60^\circ)=\cos(30^\circ)=\frac
- \sin(90^\circ)=\cos(0^\circ)=\frac=1

Weitere mit Wurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung erhält man \sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man viele weitere solche Ausdrücke berechnen: \sin(15^\circ) erhält man aus \frac=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ). Aus \sin(18^\circ) und \sin(15^\circ) lassen sich dann z. B. \sin(3^\circ) und dann rekursiv auch alle \sin(n \cdot 3^\circ) berechnen.

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

:\sin(\alpha)=\cos\left(\frac-\alpha\right)=\cos\left(\alpha-\frac\right)
:\sin^2\left(\alpha\right)+\cos^2(\alpha)=1 (Satz des Pythagoras)
Insbesondere folgt daraus ||\leq 1 und ||\leq 1. Diese Ungleichung gilt aber nur für reelle \alpha; für die über die Potenzreihe definierten komplexen Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Umkehrfunktion

Da sich zu einem gegebenen Wert \sin\alpha\in [-1,1] ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert \cos\alpha\in [-1,1] ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen :\sin x: [-90^\circ, 90^\circ]\to[-1,1] und :\cos x: [0^\circ, 180^\circ]\to[-1,1] eine Umkehrfunktion besitzen. Diese Umkehrfunktionen :\arcsin x: [-1,1] \to [-90^\circ, 90^\circ] bzw. :\arccos x: [-1,1] \to [0^\circ, 180^\circ] werden Arkusfunktionen genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Bogenlänge (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt; für diese Interpretation ist die Angabe des Wertebereichs im Bogenmaß :\arcsin x: [-1,1] \to [-\pi/2, \pi/2] bzw. :\arccos x: [-1,1] \to [0, \pi] üblich. Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; d